plot(Out), hold on

Рис. 11.2

Как можно видеть, для решения задачи достаточно набрать небольшое число команд. В результате получим графики функции , соответствующие матричному и точному решению. Они показаны на рис. 11.2. Как можно видеть, отклонения от точного решения едва заметны. В данном случае использовалась матрица размером =100. По меркам MATLAB это не очень большая матрица, и результат отображается на экране мгновенно. Идентификатор Ve в программе обозначает вектор .

С помощью дискретного операционного исчисления можно решать не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и уравнения в частных производных. В этом случае функция-изображение является иррациональной функцией и может содержать члены вида или , где – нецелое действительное число. Для получения матриц необходимо использовать общую биномиальную теорему из теории аналитических функций.

. (11.36)

В частном случае имеем

(11.37)

Результат разложения (11.37) легко проверить умножением: . На рис. 11.3 показаны графики функции , изображением которой является функция (матричное решение и точное). Эти графики получены с помощью следующей программы MATLAB.

for k=1:100

Out(k)=1/(sqrt(3.141592654*k));

End

>> a=1;

>> Qk=I;

>> Sum=NULL;

>> for k=1:100

Qk=Qk*Q;

a=a*abs(2*k-3)/(2*k);

Sum=Sum+a*Qk;

End

>> SRS=I-Sum;

Y=inv(SRS);

>> OutM=Y*Ve;

>> plot(OutM), hold on

>> plot(Out), hold on

Рис. 11.3

В начале этой программы вычисляется точное значение искомой функции. Затем находится матрица и обратная ей матрица. Идентификатор SRS соответствует матрице , а идентификатор NULL – матрице с нулевыми элементами.