![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решить систему линейных алгебраических уравнений
1) методом Крамера, 2) матричным способом.
Решение.
1) Метод Крамера
Следовательно, система имеет решение.
2) Матричный способ
Найдем обратную матрицу А-1:
1 шаг:
Следовательно, матрица имеет обратную.
2 шаг:
ищем алгебраические дополнения
элементов матрицы .
Составим матрицу из алгебраических дополнений
3 шаг: транспонируем матрицу
4 шаг:
Получаем ответ:
4.2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений с
неизвестными (метод последовательного исключения переменных)
На практике чаще всего применяется метод Гаусса – метод построения решения систем линейных уравнений.
Метод Гаусса состоит в следующем:
1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;
2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;
3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;
4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;
5) если , то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;
6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение системы.
Пример 4.2. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:
Решение.
~
~
~ ~
Таким образом,
– общее решение или (
,
,
,
).
Пример 4.3. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:
Решение.
Составляем расширенную матрицу , преобразуем ее так, чтобы вместо матрицы
получить единичную, тогда вместо матрицы
получим ответ.
~ 2ая строка +1ая, умноженная на (-2); 3ая строка +1ая, умноженная на (-3) ~
~ меняем местами 2ую и 3ю строки ~
~ 2ую строку умножим на (-1) ~
~ 3я строка +2ая, умноженная на 4 ~
~ 3ю строку делим на (-37) ~
~ 2ая строка +3я, умноженная на 10; 1ая строка +3я, умноженная на 3 ~
~ из 1ой строки вычитаем 2ую ~
.
Получаем ответ .
Теорема 4.1. (Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е.
.
Для совместных систем справедливы следующие следствия.
Следствие 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных , то система (24) имеет единственное решение.
Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных , то система (24) имеет бесконечное множество решений.
Пусть ,
переменных
называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные
называются свободными.
Решение системы (24), в котором все свободных переменных равны нулю, называется базисным.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 273 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!