Пример 4.1

Решить систему линейных алгебраических уравнений

1) методом Крамера, 2) матричным способом.

Решение.

1) Метод Крамера

Следовательно, система имеет решение.

2) Матричный способ

Найдем обратную матрицу А^-1:

1 шаг:

Следовательно, матрица имеет обратную.

2 шаг:

ищем алгебраические дополнения

элементов матрицы .

Составим матрицу из алгебраических дополнений

3 шаг: транспонируем матрицу

4 шаг:

Получаем ответ:

4.2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений с неизвестными (метод последовательного исключения переменных)

На практике чаще всего применяется метод Гаусса – метод построения решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;

2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;

3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;

4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;

5) если , то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;

6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение системы.

Пример 4.2. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

~ ~

~ ~

Таким образом,

– общее решение или ( , , , ).

Пример 4.3. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составляем расширенную матрицу , преобразуем ее так, чтобы вместо матрицы получить единичную, тогда вместо матрицы получим ответ.

~ 2^ая строка +1^ая, умноженная на (-2); 3^ая строка +1^ая, умноженная на (-3) ~ ~ меняем местами 2^ую и 3^ю строки ~ ~ 2^ую строку умножим на (-1) ~ ~ 3^я строка +2^ая, умноженная на 4 ~ ~ 3^ю строку делим на (-37) ~ ~ 2^ая строка +3^я, умноженная на 10; 1^ая строка +3^я, умноженная на 3 ~ ~ из 1^ой строки вычитаем 2^ую ~ .

Получаем ответ .

Теорема 4.1. (Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е.

.

Для совместных систем справедливы следующие следствия.

Следствие 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных , то система (24) имеет единственное решение.

Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных , то система (24) имеет бесконечное множество решений.

Пусть , переменных называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные называются свободными.

Решение системы (24), в котором все свободных переменных равны нулю, называется базисным.