Неравенство Иенсена

Для функции выпуклой на промежутке I, по определению, выполняется неравенство:

, если , .

Оказывается, для выпуклой функции верно и более общее неравенство:
,

если и .

∆. При n = 2 неравенство для выпуклой функции справедливо (по определению). Допустив, что неравенство справедливо при n, рассмотрим:

=

=

.

т.е. неравенство доказано с помощью метода математической индукции. ▲

Если поставить цель снять требование , то неравенство Иенсена можно записать в виде: .

В случае вогнутой функции знак неравенства изменится на противоположный.

Физическая интерпретация – центр масс системы материальных точек, лежащих на выпуклой вверх дуге лежат не |выше точки кривой с той же абсциссой.