![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
f(x) P(x)
![]() | |||
![]() |
Mo(x) X Mo(x) Х
Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет больше одного максимума, распределение называется "полимодальным". Иногда встречаются распределения, обладающие посредине не максимумом, а минимумом. Такие распределения называют "антимодальными". В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают.
Часто применяется и еще одна характеристика положения - так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой обычно пользуются для н.с.в., хотя формально ее можно определить и для д.с.в.
Медианой случайной величины Х называется такое ее значение Ме(х), удовлетворяющее условию: интеграл плотности вероятностей (сумма вероятностей) значений х, меньших Ме(х) равен интегралу плотности вероятностей (сумме вероятностей) значений х, больших Ме(х), т.е. для н.с.в.:
f(x)dx =
f(x)dx = 1/2.
Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
![]() |
f(x) S1= S 2= 1/2
![]() |
![]() |
Me(x) X
M(x), Mo(x), Me(x) - это характеристики положения.
Кроме характеристик положения - средних, типичных значений случайной величины, существуют еще характеристики рассеивания.
Основной числовой характеристикой рассеивания одномерной случайной величины X является дисперсия D(x).
Дисперсия – это сумма произведений квадратов отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания на соответствующие вероятности.
Для д.с.в.: D(x) = [xi – M(x)]2p(xi) =
x
p(xi)- [M(x)]2;
для н.с.в.: D(x) = [xi- M(x)]2f(x)dx =
x2f(x)d(x)- [M(x)]2.
Весьма часто вместо дисперсии пользуются другой характеристикой, непосредственно с ней связанной, а именно, теоретическим средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) х:
х=
D(x);
Удобство пользования средним квадратическим отклонением в качестве меры рассеивания вместо D(x) заключается в том, что оно выражается в тех же единицах измерения, что и сама величина X, тогда как дисперсия выражается в квадратах соответствующей единицы измерения.
Пример. Вычислить дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение x по следующим данным:
Xi | X ![]() | P(xi) | XiP(xi) | Xi ![]() |
1/32 | ||||
5/32 | 5/32 | 5/32 | ||
10/32 | 20/32 | 40/32 | ||
10/32 | 30/32 | 90/32 | ||
5/32 | 20/32 | 80/32 | ||
1/32 | 5/32 | 25/32 | ||
![]() | 2,5 | 240/32 |
D(x) = 240/32 – 2,52 = 1,25; (x) =
= 1,12.
Пример. Функция распределения случайной величины X задана графиком. Найти M(x) и D(x).
![]() |
F(x)
1
a b X
Составим уравнение:
(x2 – x1)/(x2 – x1) = (y – y1/(y2 – y1);
(x – a) /(b – a) = y;
0 при x < a; F(x)= (x – a)/ (b – a) при а < x
b;
1 при x > b;
f(x) = FI (x) = 1/(b – a); M(x) = [x/(b – a)] dx = x2/2(b – a)|
= (b + a)/2; D(x) =
[x2/(b – a)]dx – [(b + a)/2]2 = x3/3(b – a)|
=
= [(b3 – a3)/3(b – a)] – (a + b)2/4 = (a – b)2/4.
Пример. Выражение плотности распределения имеет вид:
![]() |
f(x) = 2x при 0 < x < 1;
0 при x < 0, x > a;
Найти дисперсию.
D(x) = x2f(x)dx – [M(x)]2, M(x) = 2/3 (см. пример на стр.)
D(x) = 2x4| - [2/3]2 = (1 /2) - (2/3)2 = 1/18.
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, подчиняющейся закону распределения Пуассона:
P(m) = (am/m!)ea, m = 0, 1, …,
a – некоторая положительная величина, называемая параметром Пуассона.
M(x) = mP(m) =
(mam/m!)e-a,
при m = 1 первый член суммы равен единице.
M(x) = (mam/m!)e-a = a e-a
am-1/(m-1)! = a e-aea = a,
D(x) = [(m2am)/m!]e-a – a2, D(x) = a
[mam-1/(m-1)!]e-a – a2,
D(x) = a {[(m – 1) + 1]am-1/(m-1)!}e-a – a2 = aa +a – a2.
Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 418 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!