![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основна складність дослідження перехідних процесів в лінійних електричних колах класи-чним методом, що відображає дійсну картину фізичних процесів, полягає у визначенні постійних інтегрування і може бути подоланою при вирішенні поставленої задачі операторним методом. Сутність цього метода полягає у зміні функції часу f(t), Що називається оригіналом, її оператор-ним зображенням F(), яке визначається з допомогою прямого перетворення Лапласа:
, (11.12)
де р – комплексний оператор, що дозволяє диференціювання й інтегрування оригінала f(t) звести до алгебраїчних дій над його зображенням F(), якщо f(t) =0 при t<0. Матеріальна частина цього оператора є позитивною і достатньо великою, що дозволяє інтеграл записаного виразу вважати кін-цевою величиною.
Перетворення Лапласа дозволяє замінити інтегрально-диференційні рівняння відносно їх зображень. Скорочено зв'язок між зображенням функції і її оригіналом записують за допомогою знаку відповідності так
F()↔f(t) або F(
)← → f(t).
Зображення функції f(t) за Карсоном – Хевісайдом, що має вигляд
Ф() = р
= рF(
),
відрізняється від зображення за Лапласом множником р.
Оскільки для оригіналів f(t), що використовуються в теорії електричних кіл, інтеграл із безконечною верхньою межею, який входить до формул зображень функції, сходиться, ці зобра-ження являють собою цілком визначені функції (табл. 11.1).
Таблиця 11.1
Операторні відношення за Лапласом
Оригінал | Зобра- ження | Оригінал | Зображення |
А
t
tn
де n – ціле число
e±at
e±jωt
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
При розрахунку перехідних процесів у нерозгалуженому електричному колі з резистивним, індуктивним і ємкісним елементами, які характеризуються зосередженими параметрами R, L, C, що вмикається на напругу u(t), із врахуванням ненульових початкових умов, тобто коли і(0)≠0 і Uc(0)≠0, застосовують закон Ома в операторній формі:
І(р)= (11.13)
де U(p) – зображення напруги u(t), i(0), uC(0) – відповідно струм у колі й напруга на ємнісному елементі в початковий момент часу t=0, причому позитивний напрямок напруги на ємнісному елементі прийнято співпадаючим з обраним позитивним напрямком струму.
При нульових початкових умовах, тобто коли i(0)=0 i Uc (0)=0, закон Ома в операторній фор-мі зведеться до такого запису:
де
являє собою операторний опір електричного кола, отриманого з комплексного опору Z=R+jωL+ 1/jωC заміною величини jω комплексним оператором р.
Визначення перехідного струму i(t) зводиться до находження його зображення І(р) за законом Ома і подальшого пошуку за довідковими таблицями самого оригіналу i(t).
У тих випадках, коли згадувані таблиці не містять необхідних функцій, слід звернутись до додаткових засобів математичного аналізу, зокрема до теореми розкладання, котра дозволяє за зображенням функції І(р), яке є нескорочуваним раціональним дробом
(11.15)
знайти оригінал i(t) як суму показових функцій часу, помножених на постійні коефіцієнти, тобто
(11.16)
якщо m<n I,a,b є дійсними числами, а рівняння F2=0 не має кратних коренів р1, р2,…,рn і коренів, рівних кореням рівняння F1(p)=0.
Якщо зображення функції то її оригінал знаходять так:
(11.17)
Теорему розкладання, застосовувану при будь- яких початкових умовах, широко викорис-товують у практиці, оскільки для усіх фізично реалізованих електричних кіл при дії будь-яких ЕРС, що зустрічаються на практиці, нерівність m < n дотримується.
Розрахунок перехідних процесів в електричних колах радіотехнічних пристроїв і рішення багатьох задач теорії автоматичного регулювання часто виконують спектральним, або частотним методом, при котрому замість функціх часу f(t), значення котрої для t<0 дорівнює нулю, розглядають її спектр що є еквівалентним такому запису F(jωt)=f(t).
Зіставлення спектра F(jωt) функції f(t) із її зображенням за Лапласом F() =
, дозволяє дійти висновку, що
тобто спектр певної функції може бути знайденим за її зображенням за Лапласом, якщо в останьому комплексний оператор р замінити величиною jω.
Закон Ома для нерозгалуженого електричного кола із зосередженими параметрами R, L,C при нульових початкових умовах дозволяє знайти спектр струму а потім за табли-цями оригіналів і зображень – шукану функцію i(t).
Основні переваги спектрального метода виявляються при розрахунку перехідних проце-сів у складних електричних колах, для котрих встановлена залежність вхідного комплексного опо-ру від частоти струму експериментальним шляхом.
При включенні електричного кола із зосередженими параметрами на напругу, яка непе-рервно змінюється, довільної форми u(t) у будь-який момент часу t можна визначити за допомогою інтеграла Дюамеля
(11.18)
де u(0) – напруга, прикладена в початковий момент часу, коли t=0; y(t) – перехідна провідність ко-ла для моменту часу t, що чисельно дорівнює струму при включенні цього ж кола на одиничну на-пругу 1В; u'(x) –похідна функції напруги за перемінною інтегрування х, яка задовольняє умову 0 < x < t; y(t-x) –перехідна провідність електричного кола для моменту часу t - x.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 3216 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!