Операторний метод розрахунку перехідних процесів

Основна складність дослідження перехідних процесів в лінійних електричних колах класи-чним методом, що відображає дійсну картину фізичних процесів, полягає у визначенні постійних інтегрування і може бути подоланою при вирішенні поставленої задачі операторним методом. Сутність цього метода полягає у зміні функції часу f(t), Що називається оригіналом, її оператор-ним зображенням F(), яке визначається з допомогою прямого перетворення Лапласа:

, (11.12)

де р – комплексний оператор, що дозволяє диференціювання й інтегрування оригінала f(t) звести до алгебраїчних дій над його зображенням F(), якщо f(t) =0 при t<0. Матеріальна частина цього оператора є позитивною і достатньо великою, що дозволяє інтеграл записаного виразу вважати кін-цевою величиною.

Перетворення Лапласа дозволяє замінити інтегрально-диференційні рівняння відносно їх зображень. Скорочено зв'язок між зображенням функції і її оригіналом записують за допомогою знаку відповідності так

F()↔f(t) або F()← → f(t).

Зображення функції f(t) за Карсоном – Хевісайдом, що має вигляд

Ф() = р = рF(),

відрізняється від зображення за Лапласом множником р.

Оскільки для оригіналів f(t), що використовуються в теорії електричних кіл, інтеграл із безконечною верхньою межею, який входить до формул зображень функції, сходиться, ці зобра-ження являють собою цілком визначені функції (табл. 11.1).

Таблиця 11.1

Операторні відношення за Лапласом

Оригінал	Зобра- ження	Оригінал	Зображення
А   t   tn де n – ціле число   e±at   e±jωt 1- (1- )   (   t   (1- t)   t(1 - t)		sin ωt     cos ωt   e-at sin ωt   e-at cos ωt   sin (ωt±φ)     cos (ωt±φ)     sin (ωt±φ)     cos (ωt±φ)   cos ωt-       2

При розрахунку перехідних процесів у нерозгалуженому електричному колі з резистивним, індуктивним і ємкісним елементами, які характеризуються зосередженими параметрами R, L, C, що вмикається на напругу u(t), із врахуванням ненульових початкових умов, тобто коли і(0)≠0 і Uc(0)≠0, застосовують закон Ома в операторній формі:

І(р)= (11.13)

де U(p) – зображення напруги u(t), i(0), uC(0) – відповідно струм у колі й напруга на ємнісному елементі в початковий момент часу t=0, причому позитивний напрямок напруги на ємнісному елементі прийнято співпадаючим з обраним позитивним напрямком струму.

При нульових початкових умовах, тобто коли i(0)=0 i U_c (0)=0, закон Ома в операторній фор-мі зведеться до такого запису:

де

являє собою операторний опір електричного кола, отриманого з комплексного опору Z=R+jωL+ 1/jωC заміною величини jω комплексним оператором р.

Визначення перехідного струму i(t) зводиться до находження його зображення І(р) за законом Ома і подальшого пошуку за довідковими таблицями самого оригіналу i(t).

У тих випадках, коли згадувані таблиці не містять необхідних функцій, слід звернутись до додаткових засобів математичного аналізу, зокрема до теореми розкладання, котра дозволяє за зображенням функції І(р), яке є нескорочуваним раціональним дробом

(11.15)

знайти оригінал i(t) як суму показових функцій часу, помножених на постійні коефіцієнти, тобто

(11.16)

якщо m<n I,a,b є дійсними числами, а рівняння F₂=0 не має кратних коренів р₁, р₂,…,р_n і коренів, рівних кореням рівняння F₁(p)=0.

Якщо зображення функції то її оригінал знаходять так:

(11.17)

Теорему розкладання, застосовувану при будь- яких початкових умовах, широко викорис-товують у практиці, оскільки для усіх фізично реалізованих електричних кіл при дії будь-яких ЕРС, що зустрічаються на практиці, нерівність m < n дотримується.

Розрахунок перехідних процесів в електричних колах радіотехнічних пристроїв і рішення багатьох задач теорії автоматичного регулювання часто виконують спектральним, або частотним методом, при котрому замість функціх часу f(t), значення котрої для t<0 дорівнює нулю, розглядають її спектр що є еквівалентним такому запису F(jωt)=f(t).

Зіставлення спектра F(jωt) функції f(t) із її зображенням за Лапласом F() = , дозволяє дійти висновку, що тобто спектр певної функції може бути знайденим за її зображенням за Лапласом, якщо в останьому комплексний оператор р замінити величиною jω.

Закон Ома для нерозгалуженого електричного кола із зосередженими параметрами R, L,C при нульових початкових умовах дозволяє знайти спектр струму а потім за табли-цями оригіналів і зображень – шукану функцію i(t).

Основні переваги спектрального метода виявляються при розрахунку перехідних проце-сів у складних електричних колах, для котрих встановлена залежність вхідного комплексного опо-ру від частоти струму експериментальним шляхом.

При включенні електричного кола із зосередженими параметрами на напругу, яка непе-рервно змінюється, довільної форми u(t) у будь-який момент часу t можна визначити за допомогою інтеграла Дюамеля

(11.18)

де u(0) – напруга, прикладена в початковий момент часу, коли t=0; y(t) – перехідна провідність ко-ла для моменту часу t, що чисельно дорівнює струму при включенні цього ж кола на одиничну на-пругу 1В; u'(x) –похідна функції напруги за перемінною інтегрування х, яка задовольняє умову 0 < x < t; y(t-x) –перехідна провідність електричного кола для моменту часу t - x.