Приклади розрахунку перехідних процесів

Переходячи до практичного застосування викладених методів розрахунку перехідних про-цесів в лінійних електричних колах, корисним є вивчити включення найпростішого електричного кола із зосередженими параметрами R i L на постійну напругу U (рис. 11.1,а). В цьому випадку рівняння другого закону Кірхгофа має вигляд

(11.19)

` Представляючи вихідний струм i у вигляді струму, що встановився і вільного струму котрий є загальним рішенням однорідного диференційного рівняння , а величина к – коренем характеристичного рівняння R+L_K=0, що визначається рівністю знайдемо, що

Оскільки в початковий момент часу, коли t = 0, i(0) = 0, то 0 = U/R+A, звідки постійна інтегрування A= -U/R.

Таким чином, перехідний струм зростає за експоненційною кривою і практично досягає значення, що встановилося коли мине час t₀ = (3…5) ґ, де ґ = L/R називається постійною часу електричного кола зі зосередженими параметрами R і L, котра в да-ному випадку визначається довжиною під дотичною до кривої i(t) (рис. 11.1, в).

Цю задачу простіше вирішити операторним методом, при котрому знаходять зображення струму:

а потім за таблицею оригіналів і зображень – шуканий перехідний струм як функцію – оригінал

Відключення електричного кола з двома паралельно з'єднаними вітками від джерела постій-ної напруги U (рис. 11.2) викликає зникнення магнітного поля індуктивного елемента і наведення в ньому ЕРС самоіндукції. Ця ЕРС підтримує у замкненій кола перехідний затухаючий струм і, закон зміни котрого у часі витікає з диференційного рівняння

і має вигляд , де I=U/R – струм, що встановився в колі до комутації; - постійна часу контуру електричного кола після комутації.

Виходячи з формули перехідного струму і можна знайти ЕРС самоіндукції індуктивного елемента так:

Її початкове значення e_L (0) істотно залежить від опору розрядного резистора R', увімкненого для економії електричної енергії при встановленому режимі через напівпровідниковий діод VD, і скла-дає , а початкова напруга u(0), під котрою опиняться обидві вітки, буде:

,

тобто вона перевищить напругу джерела електричної енергії U у R'/R разів.

Рис. 11.2 Схема відключення електричного кола з двома паралельно з’єднаними вітками від джерела постійної напруги.

Увімкнення електричного кола із зосередженими параметрами R і С на постійну напругу U (рис. 11.2, а), що супроводжується появою перехідного струму і, можна описати рівнянням елек-тричного стану кола Ri+U_c =U, де U_c - перехідна напруга на затискачах ємнісного елемента.

Рис.11.3. Включення електричного кола із зосередженими параметрами R і С на постійну напругу: а)схема; б)графік перехідного струму.

Оскільки перехідний струм то рівняння електричного стану кола можна представити так:

А рішення записати у такому вигляді:

де - вільна складова перехідної напруги на ємнісному елементі, що є рішенням однорідного диференційного рівняння з характеристичним рівнянням RCк+1=0, звідки його корінь к = - 1/RC.

Таким чином, вільну складову перехідної напруги можна представити так: а рішення неоднорідного диференційного рівняння електричного стану кола записати в такому виглялі:

Виходячи з початкової умови U_c (0)=0 можна знайти, що постійна інтегрування А = -U, а перехідна напруга на затискачах ємнісного елемента буде: тобто воно змінюєть-ся за наростаючою експоненціальною кривою з швидкістю, яка залежить від постійної часу

Перехідний струм в розглядуваному колі змінюється за убуваючою експоненціальною кривою, починаючи зі значення і=І=U/R (рис. 11.3, б).

Цю саму задачу про включення електричного кола із зосередженими параметрами R i C на постійну напругу U (рис. 11.3, а), що супроводжується виникненям перехідного струму, легко вирішити, якщо скористатися зображенням струму:

,

По котрому з допомогою таблиці оригіналів і зображень можна зразу записати перехідний струм так: .

Так само обчислюють цей струм і(t) спектральним методом, при котрому спочатку знахо-дять спектр струму

,

який цілковито відповідає вищенаведеному зображенню струму і(р), а потім, користуючись спект-ром I(jω), записують вираз оригінала струму в такому вигляді:

Таким чином, розрахунок перехідних процесів спектральним методом повністю повторює всі етапи розрахунку операторним методом.

З допомогою теореми розкладання можна описати перехідні процеси, що виникають при вклю-ченні електричного кола із зосередженими параметрами R i L на синусоїдну напругу и (рис. 11.4, а) з комплексною амплітудою , зображення якої має вигляд .

Рис. 11.4. Включення електричного кола із зосередженими параметрами R i L на

синосуї- дальну напругу з початковою фазою : а)схема; б) графіки синусоїдної напруги, встановленого, вільного і перехідного струмів.

В цьому випадку зображення комплексної амплітуди струму буде:

де

Рівняння (р-јω)(R+pL)=0 має два корені р1= јω; р2= -R/L.

Похідна функції F2(p) буде F'2(p)=2pL+R- јωL.

У відповідності до теореми розкладання оригінал комплексної амплітуди струму

.

Переходячи від комплексної амплітуди струму Im(t) до миттєвого струму, отримаємо

.

З останнього виразу видно, що на струм, який встановився накла-дається вільний струм , котрий, починаючи з абсолютного значення , зменшується за експоненціальним законом (рис. 11.4, б), в результаті чого перехідний струм деякі моменти часу може приймати значення іmax> Im, тобто перевищувати амплі-туду струму Im режиму, котрий встановився.

Характер перехідних процесів істотно залежить від початкової фази напруги ψ. Якщо по-чаткова фаза ψ = φ або ψ = φ +π, то вільний струм ів=0 і встановлений режим виникають відразу, без будь-якого перехідного процессу. При початковій фазі ψ = φ ±π /2 вільний струм у момент часу t=0 досягає найбільшого значення i_B (0)=I_m, внаслідок чого абсолютне значення струму в кінці першого на півперіоду може досягнути значення Imax ≈ 2I_m, якщо постійна часу ґ=L/R є великою у порівнянні з періодом струму іу, який встановився.

а)

Рис. 11.5. Включення нерозгалуженого електричного кола з зосередженими параметрами R,L і С на постійну напругу: а)схема; б) графіки перехідних струму й напруги на ємнісному елементі при ; в) те саме при . Включення нерозгалуженого електричного кола із зосередженими параметрами R, L, C на постійну напругу U (рис. 11.5, а) описують рівнянням

,

котре після диференціювання приводиться до такого вигляду: .

Цьому рівнянню відповідає характеристичне рівняння , корені якого

.

Якщо дотримується нерівність , корні к₁ і к₂ є уречевленими числами, а перехідні струм і і напруга на ємнісному елементі U_c описують формулами:

; .

З графічної інтерпретації цих залежностей (рис. 11.5, б) видно, що струм і зростає від нуля до найбільшого значення imax, відповідного моменту часу t ', а потім прагне до нуля. Напруга на ємкісному елементі монотонно зростає від нуля до напруги джерела електричної енергії, причому точка перегіну кривої U_C (t) відповідає тому ж моменту часу t ', тобто перехідні процеси у колі, яке досліджується, є аперіодичними.

При критичному опорі , коли корені к₁ і к₂ однакові, перехідні процеси також аперіодичні. Тільки дотриманні нерівності , що відповідає комплексним спряженим ко-реням к₁ і к₂, виникають затухаючі коливальні перехідні процеси (рис. 11.5 в), і перехідні струм і напруги на ємнісному елементі визначають за формулами:

; ,

де

;

Якщо , то після включення нерозгалуженого електричного кола на постійну напругу U перехідний струм і напруга на ємнісному елементі можуть досягнути таких найбільших значень:

; .

Розрахунок перехідних процесів у лінійному розгалуженому колі при включенні його на постійну напругу U (рис. 11.6, а) зводиться до визначення перехідних струмів і₁,і₂,і₃, що можна виконати з допомогою операторного метода. Так, операторний опір розглядуваного кола:

,

а зображення струму в нерозгалуженій частині кола представиться в такому вигляді:

.

Згідно з теоремою розкладання, перехідний струм у нерозгалуженій частині кола

,

а перехідні струми і₂ i і₃ у паралельних витках відповідно з резистивним елементом, що характеризуються опором R і ємнісним елементом із ємністю С, будуть:

; .

	a)

Рис. 11.6. Включення розгалуженого електричного кола із зосередженими параметрами R₁, R₂,С на постійну напругу: а) схема; б) графіки перехідних струмів.

Під час періхідного процессу струми і₂, і₃, що мають у початковий момент часу t=0 одина-кові значення і₁(0)=і₃(0)=U/R₁, поступово зменшуються й наближаються відповідно до значень і , які встановились, а струм і₂ монотонно зростає від і₂ (0)=0 до (рис. 11.6,б).

На завершення викладено розрахунок перехідного процесу при включенні нерозгалуженого електричного кола із зосередженими параметрами R і C на неперервно змінювану напругу довіль-ної форми, наприклад, за законом (рис.11.7, а,б) з метою визначення перехідного струму i(t) в заданий момент часу t з допомогою інтеграла Дюамеля:

.

y

Рис.11.7. Включення електричного кола із зосередженими параметрами R і C на напругу довільної форми: а) схема; б) графік напруги на затискачах кола; в) те саме перехідної провідності кола; г) те саме перехідного струму.

Враховуючи, що в початковий момент часу, коли t=0, напруга u(0)=0, а перехідна провідність електричного кола (рис.11.7, в), маємо

; ; .

Отже, перехідний струм:

,

тобто він змінюється від нуля до найбільшого значення imax, а потім зменшується й прямує до нуля (рис 11.7, г). Якщо T=RC, то цей вираз для перехідного струму стає невизначеним через рівність нулю чисельника і знаменника. Розкриваючи цю невизначеність за правилом Лопіталя, одержимо, що перехідний струм

.

Розрахунок перехідних процесів в нелінійних електричних колах з зосередженими парамет-рами відрізняється найбільшою складністю, пов’язаною з рішенням нелінійних диференційних рів-нянь, для чого використовують наближені аналітичні й графічні методи, а також розрахунково-вирішуючі пристрої обчислювальної техніки.

Запитання для самоперевірки

1. Параметри змінного струму.

2. Діюче значення змінного струму, напруги, ЕРС.

3. Середне значення змінного струму, напруги, ЕРС.

4. Зображення величин, що змінюються синусоїдно, обертовими векторами.

5. Векторні діаграми.

6. Співвідношення в колі синусоїдного струму тільки з активним опором.

7. Співвідношення в колі синусоїдного струму тільки з індуктивністю.

8. Співвідношення в колі синусоїдного струму тільки з ємністю.

9. Вивід формули індуктивності для тороїдальних магнітопроводів.

10. Сталий режим в колі синусоїдного струму при послідовному з’єднанні R, L, C елементів.

11. Сталий режим в колі синусоїдного струму при паралельному з’єднанні R, L, C елементів.

12. Потужність в колах синусоїдного струму.

13. Еквівалентні параметри кіл синусоїдного струму та їх експериментальне визначення.

14. Розрахунок електричних кіл синусоїдного струму при змішаному з’єднанні споживачів (класичний метод).

15. Суттєвість символічного методу розрахунку електричних кіл.

16. Символічне зображення синусоїдних величин, що змінюються, їх похідних.

17. Електричний опір, електрична провідність і потужність в комплексній формі запису.

18. Закон Ома і закони Кірхгофа в комплексній формі запису.

19. Розрахунок електричних кіл синусоїдного струму при послідовному, паралельному та змішаному з’єднанні споживачів символічним методом.

20. Резонанс напруг.

21. Резонанс струмів.

22. Резонанс струмів в реальному паралельному контурі.

23. Режими роботи електричного кола.

24. Передача енергії від джерела до споживача в колах синусоїдного струму.

25. Коефіцієнт потужності, його значення і способи його підвищення.