Класичний метод розрахунку перехідних процесів

При розрахунку перехідного процесу в лінійному електричному колі класичним методом складають застосовувану до його схеми після комутації необхідну кількість рівнянь для міттєвих ЕРС, струмів і напруг на основі першого і другого законів Кірхгофа відповідно в алгебраїчній й діференційній формах, із наступним виключенням усіх невідомих величин, окрім тої, що визна-чається. В результаті отримують лінійне неоднорідне диференціальне рівняння n -ого порядку з постійними коефіцієнтами, котре застосовано до струму i(t), або просто i, має вигляд:

(11.3)

де a_a, ….а_h – постійні коефіцієнти: е(t) – відома функція часу.

Загальне рішення такого рівняння i(t) визначається сумою його окремого рішення і загального рішення однорідного диференційного рівняння

. (11.4)

Окреме рішення неоднорідного диференціального рівняння залежить як від функції e(t), що містить задані ЕРС, так і від параметрів елементів електричного кола. При постійних і гармоніч-них ЕРС це рішення отримують за відповідними розрахунковими формулами, які дозволяють знайти струм режиму електричного кола, що встановився, після комутації, тобто як i_y(t).

Загальне рішення однорідного диференціального рівняння, або вільний струм i_b(t),залежить тільки від параметрів електричного кола і визначається сумою вільних функцій, число котрих до-рівнює порядку диференціального рівняння, а вид їх залежить від коренів к₁,к₂,…к_n характеристич-ного рівняння:

K^r +а₁ K^n-1 +… а_n-1 K+a а_n=0. (11.5)

Ці корені можуть бути дійсними й комплексними, причому останні завжди утворюють ком-плексно-спряжені пари. Дійсні частини усіх коренів розглядуваного характеристичного рівняння є негативними, оскільки воно відповідає однорідному диференційному рівнянню, яке описує електромагнітний процес у пасивних елементах електричного кола, котрий затухає у часі. Корені можуть виявитись простими, суто уявними величинами, тільки у випадку електричного кола без втрат.

Якщо усі корені характеристичного рівняння виражені простими дійсними величинами, то кожному дійсному кореню кi відповідає власна функція А_i E^kit і вільний струм знаходять так:

I_b =A₁ E^kit + A₂ E^k2t +…+ A_n E^knt, (11.6)

де A₁, A₂,… A_n - сталі інтегрування, кількість яких дорівнює порядку неоднорідного диференційного рівняння, яке описує перехідний процес в електричному колі із заданою ЕРС. В тому випадку, коли m дійсних коренів характеристичного рівняння виявляться рівними к, тобто дійсне число к буде коренем кратності m, відповідні їм вільні функції, що входять у вигляді складових до форму-ли вільного струму, виглядатимуть так:

B₁ E^kt, B₂ E^kt,…, B_m TE^m-1 E^kt, (11.7)

де В₁,В₂,…,В_m – сталі інтегрування. Якщо в число коренів характеристичного рівняння входить па-ра спряжених комплексних коренів к±jω', відповідна їм власна функція має вигляд С E^kt sin(ω't+ψ), де С і ψ є постійними інтегрування, а величини к і ω' характеризують відповідно власне затухання електричного кола і власну частоту електричних коливань. Для q – кратних спряжених комплекс-них коренів к±jω' власні функції мають вигляд:

С₁ E^kt sin(ω't+ψ1), С₂ E^kt sin(ω't+ψ2),…, С_q E^kt sin(ω't+ψq). (11.8)

Сталі інтегрування, що входять до формули вільного струму, знаходять із фізичних почат-кових умов, що визначаються законами комутації, які встановлюють неперервність функцій U_c (t) і U_l (t) у часі, в результаті чого

U_c (0-)= U_c (0); U_l (0-)= i_l (0), (11.9)

де U_c (0-) і U_l (0-) – попередні значення цих функцій, що відповідають моменту часу t =0.

Підстановка ціх значень у рівняння законів Кірхгофа дозволяє визначити струм і його похід-ні по часу для моменту t =0 тобто

i(0), t=0,…, t=0 (11.10)

Оскільки вільний струм i_b = А₁ек1 t+ А₂ек2t+…+ А_nекn t, постійні інтегрування А₁, А₂,…, А_n можна визначити із системи рівнянь:

i(0)- iy(0)= А₁+ А₂+…+ А_n;

t=0 - t=0 = к1 А₁+к2 А₂+…+кn An;

t=0 - t=0 = к1n-1 А1+к2n-1 А2+…+кnn-1 An;

де корені характеристичного рівняння к1, к2,…,кn, початковий струм і(0) і його похідні t=0,…, t=0 відомі.

Тоді перехідний струм в електричному колі визначиться так:

і(t)=iy(t)+iв(t). (11.11)