Розрахунок складних електричних кіл за допомогою рівнянь, складених за законами Кірхгофа

Розрахунок будь-якого кола можна виконати, склавши систему рівнянь на основі першого та другого законів Кірхгофа та розв’язавши їх.

У загальному випадку застосування законів Кірхгофа у поєднанні із заданими залежностями між напругою на окремих елементах і струмами в них приводить до системи диференціальних рівнянь. Але в колах постійного струму у сталих режимах ця система зводиться до системи алгебраїчних рівнянь (див. розд. 3).

Припустимо, що електричне коло, розрахунок якого потрібно зробити, складається з віток та має вузлів. При цьому задані ЕРС усіх джерел, які ввімкнені в коло, і опори всіх віток. Невідомими є струми у вітках. Оскільки в кожній вітці протікає свій струм, число невідомих струмів дорівнює числу віток у схемі, тобто . Застосувавши перший закон Кірхгофа до кожного вузла, дістанемо всього рівнянь. З них незалежними одне від одного буде рівняння.

Застосувавши другий закон Кірхгофа, можна скласти стільки рівнянь, скільки замкнених контурів має коло. Однак при цьому одні рівняння можуть бути наслідком інших. Незалежність рівнянь, складених за другим законом (тобто незалежність контурів), буде забезпечена, якщо ці контури вибирати так, щоб кожний наступний контур відрізнявся від попереднього принаймні на одну нову вітку. Число незалежних контурів

(5.1)

Таким чином, за законами Кірхгофа для будь-якого складного кола можна скласти систему з незалежних рівнянь, розв’язавши яку, можна визначити струм у всіх вітках кола, якщо задано його параметри та діючі в ньому ЕРС, а також задавальні струми.

Послідовність розрахунку така.

1. Визначити кількість вузлів у схемі.

2. Визначити кількість в1тол у схемі.

3. Довільно задатися додатним напрямом струму в кожній вітці і

позначити цей напрям на схемі стрілкою.

4. Обчислити число незалежних контурів

де – кількість рівнянь, які потрібно скласти за другим законом Кірхгофа.

5. Вибрати незалежні контури, напрям їх обходу і позначити на схемі.

6. Скласти систему рівнянь. Їх число має дорівнювати числу віток схеми,

оскільки в кожній вітці протікає свій струм. За першим законом Кірхгофа складають рівняння, додержуючись правила знаків для ЕРС, спаду напруги і струму.

Знак ЕРС залежить від напряму обходу контура через джерело. Якщо це відбувається за напрямом стрілки (тобто від знака “–“ до знака “+”), ЕРС у правій частині рівняння записують зі знаком “+”, якщо проти напряму стрілки (тобто від “+“ до “–“) – зі знаком “–“.

Знак спаду напруги залежить від напряму обходу контура і вибраного додатного напряму напряму струму в цій вітці: якщо напрям обходу контура через опір збігається з вибраним додатним напрямом струму в ньому, то у лівій частині рівняння записують зі знаком “+”, якщо не збігається – зі знаком “–“.

У рівняннях, складених за першим законом Кірхгофа, знак “+” ставлять тоді, коли струм напрямлений від вузла і знак “–“ у противному разі.

Якщо струми, напрямлені від вузла, записані зі знаком “+”, то струми, напрямлені до вузла, слід записати зі знаком “–“. Це рівнозначно множенню на () складеного рівняння. Рівність при цьому не змінюється.

Слід пам’ятати, що, розв’язуючи конкретну задачу, для всіх вузлів потрібно додержуватись єдиного правила знаків.

7. Розв’язати систему рівнянь і знайти струми і вітках. Якщо при цьому струм дістанемо зі знаком “+”, то дійсний напрям струму у вітці збігається з раніш довільно обраним, якщо струм буде зі знаком “–“, то дійсний напрям стру-му протилежний обраному.

8. Перевірити правильність розрахунку кола за першим або за другим законом Кірхгофа, вибравши для цього вузли і контури, які не використовувались при складанні рівнянь у п. 6.

9. Перевірити баланс потужностей, сума потужностей джерела (джерел) ЕРС і джерел струму , тобто

має дорівнювати сумі потужностей приймачів :

де – кількість джерел відповідно ЕРС і струму; – число віток у схемі.

Знак “+” перед записують, якщо знаки і однакові. З фізичної точки зору це означає, що джерело ЕРС віддає енергію приймачам. Якщо і мають різні знаки, то записують зі знаком “–“. Таке джерело працює в режимі приймача (наприклад, акумулятор заряджається).

Потужність джерел струму записують зі знаком “+”, коли їх знаки збігаються. Напруга додатна, якщо потенціал вузла а () більший за потенціал вузла в (), а струм додатний, якщо він напрямлений до вузла а, у противному разі записують зі знаком “–”.

Приклад 3. Розрахувати електричне коло, схема якого зображена на рис. 5.1, методом рівнянь Кірхгофа.

Позначення джерел струму на схемах (рис. 5.13,а,б) рівноцінні. Струм надходить до вузла 2 і виходить з вузла 1. Отже, схему на рис. 5.1 накреслимо у вигляді рис. 5.14.

Розв’язання.

1. Визначаємо кількість вузлів і позначаємо їх на схемі арабськими цифрами в кружечках (рис. 5.14).

2. Визначаємо кількість вузлів .

3. Довільно задаємося умовно додатним напрямом струму в кожній вітці і

рис.5.13 Рис.5.14

позначаємо його на схемі стрілками (рис.5.14)

4. Визначаємо число незалежних контурів

Вибираємо незалежні контури і напрями їх обходу та позначаємо на схемі (рис. 5.14) римськими цифрами і напівкруговими стрілками.

5. Складаємо систему рівнянь. Усього потрібно скласти рівнянь (тобто 6), з яких рівняння складаємо за першим законом Кірхгофа і – за другим. Спочатку складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа, потім – за першим:

І контур

II контур

ІІІ контур

І-й вузол

3-й вузол

4-й вузол

6. Розв’язуємо систему рівнянь. Оскільки система складається із шести рівнянь і кожне рівняння з останніх трьох містить по три невідомі, доцільно знизити порядок системи методом підстановки. Залишимо невідомими струми тобто зведемо систему до 3-го порядку. Для цього з останніх трьох рівнянь знайдемо:

для 1-го вузла

для 4-го

для 4-го

Підставимо значення в перші три рівняння, дістанемо систему з трьох рівнянь:

або, підставивши числові значення опорів, матимемо

Розв’язавши систему, здобудемо

Використовуючи рівняння, записані на початку цього пункту, знайдемо струми

Зауважимо, що струми і , знайдені при розв’язуванні системи, одержали зі знаком “–”. Це означає, що дійсні напрями струмів протилежні напряму тих струмів, які довільно вибрані при розв’язуванні задачі, тобто стрілки і потрібно спрямувати в інший бік.

Перевірка правильності розв’язування задачі за першим і другим законами Кірхгофа, а також баланс потужностей виконується так само, як і в попередньому методі.

Зауважимо тільки, що для перевірки за першим законом слід брати вузли, а за другим – ті контури, які не використовувались при складанні рівнянь в п.5.