Інтерполяційний многочлен Ньютона

Для побудови інтерполяційного многочлена Ньютона необхідно спочатку ввести поняття скінчених і розділених різниць. Нехай – довільні попарно не рівні між собою вузли інтерполяції, в яких відомі значення функції .

Скінченими різницями першого порядку називають величини, що обчислюються за формулами:

(23)

Скінченими різницями другого порядку називають:

(24)

У загальному вигляді скінчені різниця -го порядку обчислюється за формулою

(25)

Розділені різниці першого порядку для у вузлах інтерполяції мають вигляд:

(26)

Розділені різниці другого порядку записують у вигляді:

(27)

Взагалі, якщо розділені різниці -го порядку вже визначені, то розділені різниці -го порядку знаходяться за формулою

. (28)

При обчислені розділених різниць прийнято записувати їх у вигляді таблиці

x	f(x)	∆ f(x)	∆2 f(x)	∆3 f(x)	…	∆n f(x)
x0	f(x0)
x1	f(x1)	f(x0; x1)
x2	f(x2)	f(x2; x1)	f(x0; x1; x2)
x3	f(x3)	f(x3; x2)	f(x1; x2; x3)	f(x0; x1; x2; x3)
…	…	…	…	…	…
xn	f(xn)	f(xn-1; xn)	f(xn-2; xn-1; xn)	f(xn-3; xn-2; xn-1; xn)	…	f(x0; x1; …; xn)

Використовуючи розділені різниці, можна одержати формулу Ньютона для нерівних проміжків у вигляді:

(29)

Зауважимо, що в обчисленнях за формулою (29) будуть брати участь тільки діагональні елементи таблиці, а всі інші елементи таблиці являються тільки проміжковими і потрібні тільки для обчислення діагональних елементів.

Переконаємось, що отриманий вираз дійсно є інтерполяційним многочленом, а саме він є многочленом -го степеня і приймає у вузлах інтерполяції задані значення:

Вибравши довільну точку , можна довести, що

тобто всі вимоги до інтерполяційних многочленів виконуються.

Приклад 4. Функцію на відрізку інтерполювати многочленом Ньютона 5-го степеня, обчислити його значення при та порівняти одержане наближене значення із точним.

Розв’язання. Програма побудови матриці розділених різниць , многочлен Ньютона та результати обчислень наведено на лістингу 4. З наведених

результатів видно, що похибка

На вигляд многочлен Ньютона відрізняється від многочлена Лагранжа. Але якщо ці многочлени побудовано для тієї самої функції і однієї й тієї самої системи вузлів, то за теоремою про єдиність розв’язку інтерполяційної задачі вони тотожно дорівнюватимуть одна одній, тобто . А тому і залишковий член інтерполяційної формули Ньютона збігатиметься з залишковим член інтерполяційної формули Лагранжа. Отже,

.