Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Нехай у точках , , задано значення функції : , . Треба побудувати многочлен степені , який у вузлах , , набуває тих самих значень, що і функція , тобто

, . (6)

Інтерполяційний многочлен шукатимемо у вигляді:

(7)

де – многочлен степеня , що у вузлах інтерполяції задовольняє умови:

Даний варіант запису многочлена називають інтерполяційним многочленом Лагранжа. Для пошуку знаходять многочлен степеня , що перетворюється в нуль у вузлах інтерполяції , і дорівнює одиниці в точці . Многочлен, що задовольняє ці вимоги, може бути записаний у вигляді:

. (8)

Підставивши вираз для у формулу (7), дістанемо вираз інтерполяційного многочлена

, (9)

який називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність

(10)

– інтерполяційною формулою Лагранжа.

Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (9).

1⁰. Нехай , тобто значення функції задано в двох вузлах і . Позначимо ці значення через і . Тоді з формули (9) дістанемо

. (11)

Формулу (11) називають формулою лінійного інтерполювання. При лінійному інтерполюванні дуга кривої на відрізку замінюється відрізком прямої (11), що лежить між точками і .

2⁰. Нехай . У цьому випадку функцію задано в трьох вузлах , і значеннями , і . Тоді з формули (9) дістанемо

. (12)

Формулу (12) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої на відрізку замінюється дугою параболи (12), що лежить між точками , і .

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записати компактніше. Для цього введемо многочлен -го степеня вигляду

. (13)

Виконавши диференціювання функції (13) по , дістанемо

.

Поклавши тут , матимемо

. (14)

Підставивши (13) і (14) в (9), знайдемо

. (15)

Вирази , що є коефіцієнтами при у многочлені Лагранжа, називають коефіцієнтами Лагранжа.

Побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа у такому вигляді для кожної конкретної задачі пов’язана зі значними обчислювальними затратами. Для виходу з цієї ситуації можна скористатись засобами пакету Mathcad.

Приклад 2. Для даних, наведених в прикладі 1 знайти коефіцієнти Лагранжа, побудувати відповідний многочлен Лагранжа, знайти наближене значення многочлена Лагранжа в точці та побудувати графіки коефіцієнтів та многочлена Лагранжа.

Розв’язання. На лістингу 2 наведено функції: , та многочлен Лагранжа у звичайному та розгорнутому вигляді, а також графіки коефіцієнтів та многочлена.

Для розв’язання поставленої задачі можна побудувати спеціальну процедуру-функцію . На лістингу 3 наведено процедуру-функція , побудовано її графік та обчислено значення многочлена в точці . Перевага так побудованого многочлена Лагранжа є його компактність, а недолік – неможливість із одержати звичайний многочлен.