 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Итак, надежность системы в целом равна 0,8579
|
|
 |
§1.9. Элементы комбинаторики.
При подсчете вероятности по классическому определению приходится пересчитывать число исходов опыта, т. е. число различных вариантов.
Это гораздо легче сделать, если использовать готовые формулы, полученные в специальном разделе математики, который называется комбинаторикой.
Комбинаторика – это наука о комбинациях из однородных элементов, в частности, из чисел. Рассмотрим некоторые из них.
1. Основное правило комбинаторики (правило умножения).
 |
Для запоминания: схема дорог.
Из пункта A в пункт B ведет k дорог. Из B в C ведет l дорог.
Сколько всего разных путей из A в C?
. 
Пусть выбран путь №1 из A в B. У него есть l продолжений - путей из B в C. Это все разные пути. Уже l вариантов. Если из A в B выбираем путь №2, у него тоже l продолжений. Еще l вариантов. И так далее. Таким образом, получаем:
Этот прием позволяет решать очень многие задачи, связанные с пересчетом вариантов.
Пример 1: Бросают 4 кубика. Найдем общее число исходов.
|
Пример 2: Записывают пятизначное число, в котором все цифры разные. Сколько способов это сделать (сколько таких чисел)?
Записываем первую цифру. У нас 9 вариантов выбора (любая цифра, кроме 0). Когда записываем вторую, одна цифра уже израсходована, но зато добавляется 0 - имеем 9 варантов выбора. Когда записываем третью, осталоь 8 варантов (две цифры уже израсходованы). И так далее. Всего получаем:
|
Пример 3: Кодовый замок сейфа состоит из 5 дисков по 12 символов
на каждом. Сколько всего вариантов набора кода?
Когда выбираем какой то символ на первом диске, у нас 12 вариантов. На втором тоже 12 и любой символ на первом диске может сочетаться с любым символом на втором. И т.д.
|
Пример 4: Есть семь карточек с номерами 1, 2, 3,.......7. Из них достают 4 выкладывают из них число. Сколько существует способов получить четное число?
Чтобы число было четным, на последнюю позицию нужно положить одну из цифр 2, 4, 6 – имеем 3 варианта.
После того, как последняя позиция заполнена, выбираем карточку на предпоследнюю позицию – 6 вариантов. На третью справа – 5 вариантов, на первую позицию – 4 варианта.
Если после заполнения последней позиции начать выкладывать карточки слева направо, число вариантов не изменится:
Вообще, процесс заполнения можно проводить в любой последовательности и от этого общее число вариантов не изменится.
2. Перестановки.
 |
Удобна для запоминания следующая схема:
 | |||
 | |||
 |
Формула получается очень просто, по тому же принципу, который применялся выше. Сначала отбираем один элемент, чтобы положить его на первую позицию. Для этого у нас k вариантов. Когда отбираем претендента на вторую позицию, один элемент уже израсходован, и число вариантов равно (k –1). Так как число позиций равно числу элементов, когда доберемся до последней позиции, на нее останется ровно 1 претендент:
3. Размещения и сочетания.
 |
Схемы для запоминания:
 | |
 |
Формула для числа размещений:
Когда отбираем первый элементу нас k вариантов. Для второго (k –1) вариант. На последнюю позицию № l остается (k – (l + 1 )) претендент.
Если продолжать умножение дальше, до 1, получим факториал. Не хватает сомножителей (k-l)i ... i 3i2i1. Домножим и разделим на эти недостающие сомножители, получим факториалы, входящие в формулу (К3).
Формула для числа сочетаний:
 |
Пример 5: Сколько чисел можно соcтавить из цифр 1, 3, 5, 9?
|
Пример 6: В фирме 5 сотрудников. Необходимо одновременно выехать в командировку в 5 разных городов. Сколько разных способов распределить места командировок?
Пять элементов (сотрудников) нужно распределить по пяти местам (городам). Это – перестановка из 5 элементов:
|
Пример 7: Цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8 раскладываются в произвольном порядке друг за другом. Сколько существует вариантов, при которых четные цифры стоят на четных местах?
Выполним действие в два этапа.
Первый. Сначала возьмем четные цифры 4, 6, 8 и положим их на четные места. Таких мест 3 .
Если 3 элемента менять местами, это перестановка. Число вариантов
Второй. теперь разложим по оставшимся 3 местам нечетные цифры 3, 5, 7. Это опять перестановка из трех элементов:
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 437 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
