Основные теоретические положения. 1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка является

1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка является

A) с разделенными переменными

B) линейное

C) в полных дифференциалах

D) однородное

E) уравнение Бернулли

2. Среди ниже приведенных дифференциальных уравнений указать однородноу ДУ

A)

B)

C)

D)

E)

3. Для решения линейного дифференциального уравнения применяют подстановку

A)

B)

C)

D)

E)

4. Указать линейное дифференциальное уравнение первого порядка

A)

B)

C)

D)

E)

5. Указать дифференциальное уравнение Бернулли

A)

B)

C)

D)

E)

6. Если в дифференцируемые функции и линейно зависимые, то ее определитель Вронского равен:

A) 0

B) не равен 0

C) больше нуля

D) меньше нуля

E) 1

7. Если в дифференцируемые функции и линейно независимые, то ее определитель Вронского:

A) 0

B) не равен 0

C) больше нуля

D) меньше нуля

E) 1

8. Для того чтобы системы функции и образовало фундаментальных решении дифференциальных уравнений второго порядка, они должны быть:

A) линейно зависимо

B) линейно независимо

C) имеет разрыв

D) дифференцируемые

E) интегрируемые

9. Если функции и образуют фундаментальных решении дифференциальных уравнений второго порядка, то общее решение:

A)

B)

C)

D)

E)

10. Если общее решение дифференциальных уравнений определяется в виде , то порядок дифференциальных уравнений равна:

A) 2

B) n-го порядка

C) 1

D) 3

E) не имеет порядка

11. Для понижения порядка дифференциальных уравнений в вида используется замена:

A)

B)

C)

D)

E)

12. Для понижения порядка дифференциальных уравнений в вида используется замена:

A)

B)

C)

D)

E)

13. К какому типу дифференциальных уравнений приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка, после подстановки

A) Линейному

B) С разделяющимися переменными

C) В полных дифференциалах

D) Бернулли

E) Риккоти

14. Укажите вид дифференциального уравнения с первого порядка разделяющимися переменными:

A) , где и однородные функции одного измерения

B)

C)

D)

E)

15. Для понижения порядка в уравнении ввида , используется подстановка:

A) и

B) и

C)

D)

E)

16. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется

A) Уравнением в частных производных

B) В полных дифференциалах

C) Однородным

D) Обыкновенным

E) Линейным

17. Укажите вид линейного дифференциального уравнения первого порядка

A) , где и однородные функции одного измерения

B)

C)

D)

E)

18. Если в однородном дифференциальном уравнении - однородные функции четвертого измерения, то их частное-...

A) Нулевого измерения

B) Первого измерения

C) Четвертого измерения

D) Пятого измерения

E) Восьмого измерения

19. Укажите вид однородного по переменной и дифференциального уравнения первого порядка

A) , где и однородные функции одного измерения

B)

C)

D)

E)

20. Для понижения порядка в уравнении ввида , используется подстановка:

A) и

B) и

C)

D)

E)

21. Дифференциальное уравнение первого порядка , где - дифференцируемые функции, является уравнением в полных дифференциалах, если

A)

B)

C)

D)

E)

22. Для понижения порядка в уравнении ввида используется подстановка

A) и

B) и

C)

D)

E)

23. Наивысший порядок, входящей в дифференциальное уравнение производной неизвестной функции, определяет его…

A) Степень

B) Тип

C) Порядок

D) Показатель

E) Номер

24. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется…

A) Дифференцированием

B) Интегрированием

C) Логарифмированием

D) Потенцированием

E) Разделением переменных

25. Укажите характеристическое уравнение дифференциального уравнения

A)

B)

C)

D)

E)

26. Укажите подстановку, понижающую порядок уравнения

A)

B)

C)

D)

E)

27. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на интервале , то на этом интервале их определитель Вронского:

A) Отличен от нуля

B) Больше нуля

C) Равен единице

D) Меньше нуля

E) Тождественно равен нулю

28. Решение и линейного однородного уравнения второго порядка линейно независимы на интервале тогда и только тогда, когда их определитель Вронского для всех :

A) Отличен от нуля

B) Больше нуля

C) Равен единице

D) Тождественно равен нулю

E) Меньше нуля

29. Линейные уравнения первого порядка решают с помощью подставки:

A)

B)

C)

D)

E)

30. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных действительных корней характеристического уравнения?

A)

B)

C)

D)

E)

31. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае не равных действительных корней характеристического уравнения?

A)

B)

C)

D)

E)

32. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения?

A)

B)

C)

D)

E)

33. Пусть правая часть линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид и число является простым корнем соответствующего характеристического уравнения. Тогда частное решение этого уравнения имеет вид , где

A)

B)

C)

D)

E)

34. является общим решением дифференциального уравнения порядка

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0

35. является общим решением дифференциального уравнения порядка

A) 3

B) 2

C) 1

D) 4

E) 0

36. Уравнение виде где и непрерывные функции, называется

A) уравнением в полных дифференциалах

B) однородным

C) уравнением Бернулли

D) линейным первого порядка

E) уравнением Клеро

37. Функция называется однородной функцией -го измерения, если:

A)

B)

C)

D)

E)

38. Уравнение виде называется

A) уравнением с разделящимися переменными

B) уравнением в полных дифференциалах

C) уравнением Бернулли

D) линейным первого порядка

E) уравнением Клеро

39. Дифференциальное уравнения называется однородным относительно переменных и , если

A)

B)

C) однородная функция второго измерения относительно своих аргументов

D) однородная функция -го измерения относительно своих аргументов

E) однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов

40. Дифференциальное уравнения будет однородным в том и только в том случае, когда

A) зависимые функции

B) однородные функции одного и того же измерения

C) независимые функции

D)

E)

41. Какие из них является ббщим решением дифференциальных уравнений первого порядка:

а) б) в)

A) а, в

B) а, б

C) б, в

D) а, б, в

E) в

42. Общее решение дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид:

а) , б) в)

A) а, б

B) б, в

C) а, в

D) а, б, в

E) в

43. Общее решение дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид:

а) б) в)

A) а, б

B) б, в

C) а, в

D) а, б, в

E) в

44. Если характеристическое уравнение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами третьего порядка имеет различные действительные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:

A) , ,

B) , ,

C) , ,

D) , ,

E) , ,

45. Если характеристическое уравнение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами третьего порядка имеет равные действительные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:

A) , ,

B) , ,

C) , ,

D) , ,

E) , ,

46. Если характеристическое уравнение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами третьего порядка имеет два комплексных корни , а один действительный корень , то фундаментальная система решений имеет вид:

A) , ,

B) , ,

C) , ,

D) , ,

E) ,

47. Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид , где - двукратный корень характеристического уравнения, то степень m в частном решении данного уравнения равна:

A)

B)

C)

D)

E)

48. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

A)

B)

C)

D)

E)

49. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

A)

B)

C)

D)

E)

50. Укажите подстановку, понижающую порядок уравнения

A)

B)

C)

D)

E)

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Приступая к изучению линейных цепей постоянного тока, прежде всего необходимо ознакомиться с основными понятиями электрической цепи, схемы, её составными элементами, понятиями электрического тока, напряжения, электродвижущей силы (ЭДС), мощности.

Электрическая цепь – это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий электродвижущей силы, тока и напряжения.

Составные части электрической цепи можно разделить на две группы: источники электрической энергии и приёмники (нагрузка). Они соединяются между собой с помощью соединительных проводов.

Источники электрической энергии (гальванические элементы, аккумуляторы, генераторы постоянного тока и т.п.) представляют собой различные устройства, в которых происходит преобразование химической, тепловой, механической и других видов энергии в электрическую.

Приёмники электрической энергии (реостаты, электрические двигатели, осветительные приборы и др.) – это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии (тепловую, механическую, химическую).

Активные цепи содержат в себе источники энергии, а пассивные – не содержат.

Графическое изображение электрической цепи называется схемой. Схема простейшей электрической цепи приведена на рис. 1.1.

Источники электрической энергии харак-теризуются ЭДС Е, которая может быть опреде-лена как работа сторонних сил (то есть сил, которые обусловлены неэлектро-магнитными процессами, такими как химические реакции, тепловые процессы, воздействие механических сил), затрачиваемая на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. ЭДС – скалярная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения положительных зарядов внутри источника, то есть с направлением тока.

Электрический ток проводимости или ток переноса есть упорядоченное движение свободных носителей электрического заряда. Такими носителями являются: в металлах – отрицательно заряженные частицы – электроны, в жидкостях и газах – как положительно, так и отрицательно заряженные ионы.

Количественно ток оценивается зарядом, проходящим через попереч-ное сечение проводника в единицу времени, то есть i = .

В случае постоянного тока I = .

В международной системе единиц (СИ) заряд выражают в Кулонах (Кл), время в секундах (с), ток в Амперах (А).

При перемещении единичного положительного заряда из т. a в т. b силами электрического поля совершается работа, равная разности потенциалов этих точек. Напомним, что потенциал произвольной точки электрического поля определяется как работа, которая совершается силами электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в точку с нулевым потенциалом. В качестве точки с нулевым потенциалом зачастую берётся точка, удалённая в бесконечность.

Разность потенциалов точек a и b называется напряжением между этими точками: U_ab = j _a – j _b. В системе единиц СИ напряжение, как и ЭДС, выражают в Вольтах (В).

Напряжение представляет собой скалярную величину, которой приписывается определённое направление. Обычно под положительным направлением напряжения понимают направление от точки цепи с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Протекание тока во внутреннем сопротивлении r_в источника и в сопротивлении нагрузки r сопровождается преобразованием электрической энергии в тепловую. Скорость преобразования энергии характеризуется мощностью p = , где W – энергия (Дж).

Мощность источника энергии Р_ист = Е × I = Р + DР,

здесь Р = U × I = I ²× r – мощность приёмника энергии,

DР = I ²× r_в – мощность потерь внутри источника.

В соответствии с законом сохранения энергии для рис. 1.1

Е = U_ab + I × r_в, откуда U_ab = Е – I × r_в.

То есть напряжение на зажимах источника отличается от ЭДС на величину внутреннего падения напряжения. При изменении сопротивления приёмника изменяется ток цепи, а следовательно, и напряжение на зажимах источника.

Зависимость напряжения на зажимах источника от тока в нём называется внешней характеристикой (рис. 1.2). Точка 1 на рис. 1.2 характеризует режим холостого хода (ХХ), когда сопротивление приёмника r = ¥, а ток цепи I_Х = 0. Очевидно, что I_Х × r_в = 0, следовательно U_abХ = U_cdХ = = U_Х = E. Таким образом, ЭДС источника можно определить, измерив напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода.

Точка 2 на рис. 1.2 характеризует режим короткого замыкания источника, при котором r = 0, а следовательно, U_к = 0. Очевидно, в этом случае ток цепи (ток короткого замыкания) можно вычислить по формуле

I_к = .

Источник энергии, внутреннее сопротивление которого равно нулю (r_в =0 ) называют идеальным источником ЭДС, а идеальный источник энергии с бесконечно большим внутренним сопротивлением (r_в =¥ ) – источником тока. На рис. 1.3 приведены условные обозначения и внешние харак-теристики идеальных источников.

Для расчёта простых цепей (или резистивных участков цепей) используют обобщённый закон Ома

I = ,

где U – напряжение на участке цепи, направленное по току,

– суммарное резистивное сопротивление рассматриваемого участка,

– алгебраическая сумма ЭДС в ветви с вычисляемым током.

В записанном выше выражении ЭДС берут со знаком «плюс», если направление действия ЭДС совпадает с направлением тока.

При расчёте режима работы электрической цепи, как правило, требуется определить токи, напряжения и мощности на всех её участках при заданных значениях ЭДС источников и сопротивлений цепи. Такой расчёт основан на применении законов Кирхгофа, для записи которых введём понятия ветви, узла и контура.

Ветвью электрической цепи называ-ется её участок, состоящий из одного или нескольких элементов, соединённых так, что по ним проходит один и тот же ток. Такое соединение элементов называется последовательным (рис. 1.4).

Точка электрической цепи называ-ется узлом, если в ней соединены три или большее число ветвей (рис. 1.5, узел А).

Контур электрической цепи представляет собой замкнутый путь по ветвям электрической цепи, причём каждая ветвь и каждый узел на пути встречаются лишь однажды.

Для составления уравнений по законам Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов в каждой ветви.

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Математически: = 0. Здесь токи, направленные к узлу,

берутся со знаком «минус», а токи, направленные от узла – с «плюсом».

Согласно второму закону Кирхгофа в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках равна алгебраической сумме действующих в этом же контуре ЭДС: = . Направление обхода контура выбирается произвольно, ЭДС и напряжения, направления которых совпадают с обходом контура, учитываются в уравнении со знаком «плюс», а направленные против обхода – со знаком «минус». При составлении уравнений должно соблюдаться правило, чтобы в каждом следующем контуре была хотя бы одна ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Такие контуры называют независимыми. Второй закон Кирхгофа нельзя применять к контурам, содержащим источники тока.

Универсальной проверкой расчёта токов является составление баланса мощностей (БМ), который является следствием из закона сохранения энергии и гласит, что мощность источников равна мощности потребителей. По поводу составления БМ см. задачу 1.6.