Решение. 1. Обозначим сопротивления ветвей анализируемого четырёхполюсни-

1. Обозначим сопротивления ветвей анализируемого четырёхполюсни-

ка как Z ₁ = r и Z ₂ = . Коэффициенты А -формы определяем по известным

формулам Г -образного четырёхполюсника:

А ₁₁ = 1 + ; А ₁₂ = Z ₁; А ₂₁ = ; А ₂₂ = 1.

Коэффициенты представим в функции частоты:

Z 1 (jw):= r Z 2 (jw):=

А 11 (jw):= 1+ А 11 (jw) 1.+.1000 е -1· jw

А 12 (jw):= Z 1 (jw) А 12 (jw) 1000

А 21 (jw):= А 21 (jw) . 1000 е -4· jw

А 22 (jw):= 1 А 22 (jw) 1

Проверка: А 11 (jw) · А 22 (jw) – А 12 (jw) · А 21 (jw) 1.

Таким образом, значения коэффициентов следующие:

А ₁₁ = 1 + 0,01· jw; А ₁₂ = 1000 Ом; А ₂₁ = 10 ^-5· jw См; А ₂₂ = 1.

2. Входной величиной (воздействием) в данной задаче выступает j(t), выходной (реакцией) – напряжение на нагрузке u ₂ (t). Поэтому комплексная передаточная функция (КПФ) Н(jw) = Х_ВЫХ(jw) / Х_ВХ(jw) здесь является комплексным передаточным сопротивлением, которое обозначим как

Z(jw) = U ₂ (jw) / J(jw).

Вычислим Z(jw) двумя способами. В первом способе используются полученные коэффициенты формы А. Сначала вычисляем вспомогательную частотную функцию

НА(jw):= А 11 (jw) · r 2 + А 22 (jw) · r 1 + А 12 (jw) + А 21 (jw) · r 1· r 2

НА(jw) 8000. + 120.· jw,

Искомое сопротивление

Z(jw):= Z(jw) .

Выполним проверочный расчёт вторым способом, задавшись выход-ным напряжением u ₂ = 1 и определив входной ток J, используя законы Ома и Кирхгофа:

I 1 (jw):= + jw · C U 1 (jw):= 1 + r · I 1 (jw) J(jw):= I 1 (jw) +

Z(jw):= Z(jw) .

Таким образом, ответ для комплексного передаточного сопротивления следующий: Z (jw) = = = Ом.

Значения коэффициентов в данной задаче:

b ₁ = 0, b ₀ = 83333, a ₀ = 66,67.

3. АЧХ и ФЧХ канала связи строятся в соответствии со следующими формулами:

Z(w) = | Z (jw) | = = ;

j(w) = arg(Z (jw)) = arctg – arctg = arctg – arctg .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.37,а и б.

4. Диаграмма Найквиста представляет собой график зависимости Z(w) = f(j(w)) в полярной системе координат. Расчёты по построению графи-ка сведём в табл. 5.2. Сама диаграмма представлена на рис. 5.38.

Таблица 5.2

w, с -1									¥
j, град		-8,5	-36,9	-56,3	-66,0	-71,6	-82,4	-86,2	-90
Z, Ом					507,7		165,2	83,1

5. Значения комплексного передаточного сопротивления на заданных в условии задачи частотах следующие:

Z( 0 ) = 1250 Ом, Z (j 100 ) = 693,4· е ^{– j 56,31°} Ом,

Z (j 1000 ) = 83,15· е ^{– j 86,19°} Ом, Z (j 10000 ) = 8,33· е ^{– j 89,62°} Ом.

Комплексные амплитуды воздействия J(jw)

и реакции U ₂ (jw) = Z(jw) · J(jw) на этих же частотах:

J( 0 ) = 0,05 А, J(j 100 ) = 0,05· е ^{j 45°} А,

J(j 1000 ) = 0,05· е ^{– j 100°} А, J(j 10000 ) = 0,05· е ^{j 100°} А,

U ₂ ( 0 ) = 62,5 В, U ₂ (j 100 ) = 34,7· е ^{– j 11,31°} В,

U ₂ (j 1000 ) = 4,16· е ^{j 173,81°} В, U ₂ (j 10000 ) = 0,42· е ^{j 10,38°} В.

Мгновенные значения выходного напряжения:

u ₂ (t) = 62,5 В, u ₂ (t) = 34,7· sin( 100 t – 11,31° ) В,

u ₂ (t) = 4,16· sin( 1000 t + 173,81° ) В, u ₂ (t) = 0,42· sin( 10000 t + 10,38° ) В.

Обращаем внимание на то, как стремительно убывают амплитуды напряжения u ₂ с ростом частоты при том, что амплитуда воздействия сохраняется неизменной 0,05 А. Здесь проявляются фильтрующие свойства рассматриваемого четырёхполюсника.

ЗАДАЧА 5.43. Решить задачу 5.42 после замены резистора r ин-дуктивностью L = 10 Гн (рис. 5.39). Значение ёмкости взять равным С = 1 мкФ.