Решение. Устраним индуктивную связь и получим эквивалентную Т-схему четырёхполюсника (рис

Устраним индуктивную связь и получим эквивалентную Т -схему четырёхполюсника (рис. 5.10,б), у которого

Z ₁ = - jх_С + j(х ₁+ х_М) = - j 35 + j( 20 + 10 ) = -j 5 Ом,

Z ₂ = - jх_М = - j 10 Ом,

Z ₀ = j(х ₂+ х_М) = j( 60 + 10 ) = j 70 Ом.

Для Т -схемы четырёхполюсника связь между коэффициентами и сопротивлениями установлена:

A = 1 + = 1 + (-j 5 ) / (j 70 ) = 0,928;

B = Z ₁+ Z ₂+ = -j 5 – j 10 + = - j 15,70 Ом;

C = = = - j 0,0143 См;

D = 1 + = 1 + = 0,857.

Ток нагрузки I ₂= = = 3 А.

Примем I ₂= 3 А, по закону Ома U ₂= I ₂× Z ₂= 3×50 = 150 B.

Далее U ₁= А × U ₂ + B × I ₂ = 0,928×150 + ( - j 15,7 ) ×3 = 147× e ^{–j 18,7°} B,

I ₁= С × U ₂ + D × I ₂ = - j 0,0143×150 + 0,857×3 = 3,35× e ^{–j 39,8°} А,

P ₁= Re(U ₁× ) = Re( 147× e ^{–j 18,7°}×3,35× e ^{j 39,8°} ) = 459 Bт» P ₂= 450 Bт.

Обратим внимание, что рассматриваемая схема четырёхполюсника яв-ляется схемой без потерь (без активных сопротивлений), для которой P ₁= P ₂. Расхождение в 9 Bт появилось вследствие округления результатов вычислений до трёх значащих цифр. При этом относительная погрешность вычислений по мощности составила e % = ×100 = ×100 = 2%, что допустимо при выполнении расчётов с указанной точностью.

ЗАДАЧА 5.9. Определить А -коэффициенты Х -схемы (мостовая схема) четырёхполюсника, пред-ставленного на рис. 5.11, если r = x_L = x_С = 10 Ом.

Указание. При отборе единственного значения коэффициента А рекомендуется построить диаграмму комплексных потенциалов четырёхполюсника для режима холостого хода, приняв j _1¢ = 0.

Ответы: А = 0,6 + j 0,8, В = j 20 Ом, С = 0,1 + j 0,1 См, D = 1 + j 2.

Задача 5.10. а) На зажимы источника переменного напряжения с ЭДС Е = 100 В и внутренним сопротивлением Z _в = r_в = 1 Ом подключена нагруз-ка Z _н = r_н = 9 Ом (рис. 5.12,а). Определить активную мощность приёмника Р_н.

б) Для увеличения передаваемой в нагрузку активной мощности от генератора между генератором и нагрузкой включен четырёхполюсник (рис. 5.12,б). Определить параметры этого четырёхполюсника из условия передачи от генератора в нагрузку максимально возможной мощности Р _{2 max}.

Решение задания а). Ток в цепи рис. 5.12,а

I = = = 10 А,

активная мощность приёмника Р_н = I ²× r_н = 10 ²×9 = 900 Вт.

Решение задания б). Нагрузкой генератора в схеме рис. 5.12,б является четырёхполюсник, на выходные зажимы которого подключен приёмник, сопротивление которого Z _н = r_н = 9 Ом. Задачу передачи максимальной мощности от генератора через четырёхполюсник к приёмнику будем решать в два этапа:

1. Подберём такое сопротивление нагрузки на генератор Z ₁, при котором на вход четырёхполюсника поступит максимально возможная мощность Р _{1 max}.

На основании основных уравнений четырёхполюсника при нагрузке Z ₂ = r_н его входное сопротивление

Z ₁ = .

Так как четырёхполюсник ещё требуется подобрать, то его коэффициенты можно принимать любыми, изменяя таким образом нагрузку на генератор.

Заметим, что устройство, с помощью которого можно изменить (трансформировать) сопротивление нагрузки, называется трансформатором сопротивления, а задача подбора схемы с заданными свойствами (в рассматриваемом примере четырёхполюсника) называется задачей синтеза электрической цепи.

В разделах курса «Линейные цепи постоянного тока», «Линейные цепи синусоидального тока» изучен вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности от активного двухполюсника к пассивному. При полной компенсации реактивной мощности в цепи генератора, что имеет место в условиях рассматриваемой задачи 5.10,а, это условие выражается равенством r_в = r_н.

Таким образом, первое расчётное уравнение для синтеза четырёхполюсника принимает вид: Z ₁ = = r_в. (1)

2. Рассматривая левую часть схемы рис. 5.12,б по отношению к выход-ным зажимам 2-2¢ четырёхполюсника как эквивалентный генератор с внут-ренним сопротивлением Z ₂ пассивной части схемы, запишем условие пере-дачи максимальной мощности от эквивалентного генератора в нагрузку r_н:

Z ₂ = = r_н. (2)

Для определения четырёх коэффициентов А, В, С, D требуется система четырёх линейно независимых уравнений. Третье расчётное уравнение определяется свойством коэффициентов четырёхполюсника

АD – ВС = 1. (3)

Недостающее четвёртое уравнение позволяет нам свободу выбора вплоть до принятия одного коэффициента любым комплексным числом. Таким образом, задача синтеза четырёхполюсника, необходимого для увеличения передаваемой мощности в приёмник, имеет бесконечно большое число решений.

Обычно для получения четвёртого расчётного уравнения поступают одним из двух способов:

1. Синтезируют симметричный четырёхполюсник, когда А = D и для реализации принимают простейшие из схем: Т -образный или П -образный четырёхполюсник;

2. Принимают коэффициент D = 1, и тогда и Т -, и П -схема превраща-ется в несимметричную Г -схему вида рис. 5.14,а.

Приведём решение обоих вариантов.

1. Синтез симметричного четырёхполюсника.

Коэффициенты искомого четырёхполюсника определяются системой уравнений:

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; А = D.

Приведём подробное решение системы:

А × r_н + В = С × r_в × r_н + D × r_в, учтём А = D, а затем вычтем второе

D × r_в + В = С × r_в × r_н + А × r_н. уравнение из первого. Получим:

А × (r_н – r_в) = А × (r_в – r_н), откуда А = 0 = D.

Для определения двух оставшихся коэффициентов решаем систему уравнений, в которой учтено А = D = 0:

В = С × r_в × r_н; - ВС = 1, откуда В = ± j , С = ± j ,

причём с учётом - ВС = 1 знаки при мнимой единице j должны быть одина-ковыми для В и С.

Получаем два варианта решения:

а) А = D = 0; б) А = D = 0;

В = + j = j = j 3 Ом; В = - j = - j = - j 3 Ом;

С = + j = j См. С = - j = - j См.

Рассчитываем параметры типовых Т - и П -схем четырёхполюсников по известным коэффициентам:

- для Т -схемы Z _{1 Т} = Z _{2 Т} = = ± j 3 Ом, Z _{0 Т} = = j 3 Ом.

- для П -схемы Z _{1 П} = Z _{2 П} = = j 3 Ом, Z _{0 П} = В = ± j 3 Ом.

В ответах верхние знаки относятся к варианту а), нижние – к варианту б). Соответствующие схемы с указанием сопротивлений в Ом приведены на рис. 5.13.

При использовании любой из этих схем Z ₁ = r_в = 1 Ом,

ток в цепи генератора станет I ₁ = = = 50 А,

активная мощность на входе четырёхполюсника

Р _{1 max} = I ²× Z ₁= 50 ²×1 = 2500 Вт.

Так как четырёхполюсник выполнен из реактивных элементов, не имеет потерь, то активная мощность приёмника Р _{2 max} = Р _{1 max} = 2500 Вт

вместо Р ₂= 900 Вт исходной схемы рис. 5.12,а.

2. Синтез Г-схемы четырёхполюсника.

Коэффициенты искомой схемы четырёхполюсника определим решением системы уравнений

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; D = 1.

Из этой системы получаем два варианта решения:

а) А = ; В = j 2 Ом; С = j См; D = 1;

б) А = ; В = - j 2 Ом; С = - j См; D = 1;

Этим вариантам соответствуют только две Г -схемы, приведенные на рис. 5.14.

На рис. 5.14 сопротивления индуктивных и ёмкостных элементов представлены в Ом. Здесь так же, как и в случае применения схем рис. 5.13

Р _{1 max} = Р _{2 max} = 2500 Вт, I ₁= = = 50 А.

Ток нагрузки можно определить по формуле I ₂= .

Например, для схемы рис. 5.14,а он равен

I ₂= = × e ^{–j 70,53°} А.

ЗАДАЧА 5.11. Эквива-лентность четырёхполюсни-ков. Сопротивления элемен-тов на схемах (рис. 5.15) даны в Омах.

Необходимо показать, что приведенные четырёхполюсники эквивалентны.

Указания. Поскольку четырёхполюсники обратимы, достаточно сравнить значения сопротивлений Z _{1 Х}, Z _{1 К} у обоих 4-полюсников.

В нашем примере: Z _{1 Х} = 100 + j 200 Ом, Z _{1 К} = 100 – j 200 Ом,

Z _{2 Х} = + j 100 Ом, Z _{2 К} = 80 – j 60 Ом.

Значения сопротивлений со вторичных зажимов приведены просто для контроля.

Задача 5.12. Симметричный 4х-полюсник с r_нг = 5 кОм питается от источника Е ₁ = 48 В (рис. 5.12б). При замкнутом рубильнике S ток на входе I ₁ = 3,2 мA, на выходе I ₂ = 1,6 мА.

Определить А -коэффициенты четырёхполюсника и найти токи при разомкнутом рубильнике.

Методические указания: необходимо записать уравнения для режима короткого замыкания. Это позволит найти А -коэффициенты 4-полюсника.

Ответы: I ₁ = 3 мA, I ₂ = 1,2 мА.

Задача 5.13. На выходе симметричного 4х-полюсника, нагруженного на сопротивление Z _нг = Z _c и имеющего коэффи-циенты A = 1+ j 1, B = 10 + j 10 Ом, протекает ток I ₂ = 2 A. Рассчитайте ток и напряжение на входе четырёхполюсника.

Ответы: U ₁ = 54,65× е ^{j 38,52°} В,

I ₁ = 5,777× е ^{j 51,8°} А, Z _c = 9,46× е ^{– j 13,28°} Ом.

Задача 5.14. Четырёхполюсник с известными А -параметрами (А = = 0,5; В =10 + j 10 Ом; С = - j 0,05 См; D =1 – j 1) собран по Т -схеме (рис. 5.17) и нагружен сопротивлением Z _H = 20× е ^{+ j 90°} Ом. Требуется рассчитать токи на входе и выходе четырёхполюсника, построить векторную диаграмму.

Методические указания: начать следует с определения сопротивлений четырёхполюсника. Они будут нужны для построения векторной диаграммы.

Ответы: I ₁ = 20 – j 10 А; I ₂ = 10 A.

Задача 5.15. Для симметричного четырёхполюсника экспериментально установлено, что Z _{1 Х} = 10× е ^{+ j 90°} Ом, Z _{2 К} = 10× е ^{+ j 30°} Ом. Требуется определить А -параметры четырёхполюсника и угол сдвига фаз между входными напряжением и током при согласованной нагрузке.

Ответы: А = D = 1· е ^{- j 30°}; В = 10 Ом; С = 0,1× е ^{– j 120°} См; j = j _C = 60°.