Решение. Искомую передаточную функцию можно рассчитать с помощью основных уравнений с коэффициентами любой формы

Искомую передаточную функцию можно рассчитать с помощью основных уравнений с коэффициентами любой формы, с помощью основных уравнений с характеристическими параметрами. Однако для простых схем четырёхполюсников эту работу проще выполнить с помощью законов

Кирхгофа, записав в комплексной форме выражения тока I _{1 X} и напряжения U _{2 X} в функции w: U _{2 X} = I _{1 X} · , а I _{1 X} = , тогда

W(jw) = = · = = ,

где t = rC = 50·40·10 ^-6 = 2·10 ^-3 c – называется постоянной времени рассматриваемого звена (четырёхполюсника) (см. раздел «Переходные процессы в линейных электрических цепях»), а передаточная функция приведённого вида W(jw) = является передаточной функцией одного из типовых звеньев систем автоматического управления (САУ) – апериодического звена.

Диаграмма Найквиста этой передаточной функции приведена на рис. 5.28,б и представляет собой полуокружность радиуса R = ½. Изображающая точка М определяет положение конца вектора W(jw) на комплексной плоскости при фиксированных частотах:

при частоте w = 0 координатами точки М являются (1, 0);

при частоте w = 0,5· t ^-1 = = 250

W(jw) = = = 0,8 - j 0,4,

W(w) = = 0,894, j(w) = arctg = -26,56°,

эта точка М указана на рис. 5.28,б.

Положение точки М ₁ соответствует частоте w = t ^-1 = 500 c ^-1, а при w = ¥ W(w) = 0, j(w) = -90° = -½ p точка М оказывается в начале координат.

Заметим, что при изменении частоты w( 0 … ¥ ) изображающая точка перемещается по часовой стрелке и фазовый угол для схемы с одним накопителем изменяется на 90°. Это является общим свойством диаграмм Найквиста, только фазовый угол при этом будет изменяться до (-n ·½ p), где n – число разнородных накопителей.

Амплитудная частотная характеристика W(w) = – чётная функция частоты, фазовая частотная характеристика j(w) = -arctg(wt) – нечётная функция, при этом размерность j(w) – радианы.

Вещественная и мнимая частотная характеристики рассчитываются по

W(jw) = · = – j ,

где B(w) = – вещественная частотная характеристика, чётная функция частоты,

M(w) = - – мнимая частотная характеристика, нечётная функция частоты.

Заметим, что фазовую частотную характеристику можно также рассчитать как j(w) = arctg .

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L(w) = 20 lgW(w) = -20 lg = -10 lg .

Результаты расчёта характеристик передаточной функции сведём в табл. 5.1.

Таблица 5.1

w, c -1	wt	1+ (wt) 2	W(w)	j(w), рад	L(w), дБ	lg(w)	B(w)	- M(w)
						-¥
¼ t -1=125	0,25	1,063	0,97	-0,245	-0,264	2,09	0,94	0,235
½ t -1=250	0,5	1,25	0,894	-0,464	-0,973	2,4	0,8	0,4
1 t -1=500			0,707	-0,785	-3,01	2,7	0,5	0,5
1,5 t -1=750	1,5	3,25	0,555	-0,983	-5,12	2,88	0,31	0,462
2 t -1=100			0,447	-1,11	-6,99		0,2	0,4
3 t -1=1500			0,316	-1,25	-10	3,18	0,1	0,3
4 t -1=2000			0,243	-1,33	-12,3	3,3	0,06	0,235
5 t -1=2500			0,196	-1,37	-14,1	3,4	0,04	0,192
10 t -1=5000			0,01	-1,47	-20,04	3,7	0,01	0,09

В табл. 5.1 фигурной скобкой отмечен диапазон частот, соответству-ющий декаде, у которой отличие частот w составляет в 10 раз, а отличие lg(w) – на единицу.

Характеристики W(w), B(w), - M(w), j(w) приведены на рис. 5.29.

Логарифмические амплитудные частотные характеристики приведены на рис. 5.30,а (сплошные линии), а их асимптотические характеристики вы-полнены отрезками прямых (штриховые линии). Частота сопряжения прямых линий w ₀ = t ^-1; максимальное отклонение асимптотических ЛАЧХ от факти-ческих составляет 3,01 дБ, угол наклона прямой составляет 20 дБ/декаду, что обычно обозначается как (-1) (соответственно, при 40 дБ/декаду будет (-2), при 60 дБ/декаду – (-3) и т.д.). ЛФЧХ приведена на рис. 5.30,б.

ЗАДАЧА 5.38. Для Г -схемы четырёхполюсника (рис. 5.31,а) при r = =50 Ом, l = 0,5 Гн. рассчитать частотные характеристики передаточной функции по напряжению в режиме холостого хода. Построить асимптотические логарифмические амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую (ЛФЧХ) частотные характеристики.

Ответ: W(jw) = = , где постоянная времени звена t = , структурная схема передачи сигнала приведена на рис. 5.31,б.

Передаточную функцию W(jw) можно представить как произведение двух передаточных функций W(jw) = W ₁ (jw) · W ₂ (jw). Этому произведению соответствует каскадное соединение двух четырёхполюсников (рис. 5.31,в), для которого W ₁ (jw) = jwt – передаточная функция идеального дифферен-цирующего звена, а W ₂ (jw) = – передаточная функция апериодиче-ского звена, характеристики которого построены при решении задачи 5.37.

На рис. 5.32,а приведено построение ЛАЧХ функций W ₁ (w), W ₂ (w) и результирующей W(w), на рис. 5.32,б приведено построение логарифмиче-ской фазовой частотной характеристики.

ЗАДАЧА 5.39. Для Г -образного четырёхполюсника, нагруженного активным сопротивлением r_Н = 150 Ом (рис. 5.33), рассчитать передаточ-ную функцию по напряжению, если r = 50 Ом, С = 40 мкФ.

Ответ: W(jw) = , где k = , t = C.

ЗАДАЧА 5.40. Для Г -образного четы-рёхполюсника, нагруженного активным сопротивлением r = 50 Ом (рис. 5.34), рассчитать передаточную функцию по напряжению, если L = 0,5 Гн, С = 40 мкФ.

Построить асимптотические лога-рифмические частотные характеристики передаточной функции по напряжению.

Указание. При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ представить четырёхполюсник исходной схемы в виде каскадного соединения двух апериодических звеньев с передаточными функциями W ₁ (jw) = и W ₂ (jw) = .

Ответ: W(jw) = , где t _1,2 = .

ЗАДАЧА 5.41. Задан четы-рёхполюсник с обратной связью (рис. 5.35): х_L = 80 Ом, х_С = 40 Ом, r = 40 Ом, U ₁ = 100 В,коэффи-циент обратной связи К_ОС = 0,2. Четырёхполюсник нагружен на сопротивлением Z ₂ = 20 Ом.

Определить выходное напряжение четырёхполюсника с обратной связью и без неё.

Пояснения к решению:для характеристики условий передачи сигналов с учётом произвольной нагрузки пользуются так называемыми рабочими параметрами, к которым относятся вносимое затухание а_ВН и коэффициенты передачи по напряжению K _U и по току K _I, которые ещё называют передаточными функциями четырёхполюсника H(jω).

Коэффициенты передачи четырёхполюсника по напряжению без обратной связи K _U ¢ и при наличии обратной связи K _U ¢¢ на основании основных уравнений четырёхполюсника определяются выражениями:

K _U ¢ = , K _U ¢¢ = .

А -коэффициенты четырёхполюсника:

А = 1,2 – j 0,6, В = 4 – j 52 Ом, С = 0,01 – j 0,005 См, D = 0,7 – j 0,1.

Для четырёхполюсника без обратной связи при напряжении U ₁ = 100 В находим коэффициент передачи по напряжению и выходное напряжение:

K _U ¢ = 0,286 е ^{j 68,37°}, U ₂ = K _U ¢· U ₁ = 28,6 е ^{j 68,37°} В.

Коэффициент передачи четырёхполюсника при наличии обратной свя-зи:

K _U ¢¢ = = 0,292 е ^{j 71,48°}.

Напряжение на выходе: U ₂ = K _U ¢¢∙ U ₁ = 29,2 е ^{j 71,48°} В.

В связи с развитием вычислительной техники использование передаточных функций и характеристик для расчёта реакции цепи по известному воздействию произвольной формы становится актуальным. В задачах 5.42 и 5.43 на примере простейшего четырёхполюсника сделана попытка проиллюстрировать применение передаточных функций. При расчётах интенсивно использовалась математическая система MathCAD. К сожалению, имеются некоторые отличия в обозначении величин, функций и чисел в системе MathCAD от общепринятых математических обозначений. Так, комплексные величины не подчёркиваются, иначе представляются степени числа 10 в ответах, использование индексации символизирует числовой массив. Поэтому при решении задач приведены формулы как в общепринятом виде, так и фрагменты MathCAD-программы. На наш взгляд, отличия непринципиальные и на понимании решения не сказываются. В данном параграфе рассмотрены вопросы получения передаточных характе-ристик и их использования при гармоническом воздействии. Использование характеристик в случае других типов воздействий будет рассмотрено в по-следующих разделах «Цепи несинусоидального тока (при негармонических воздействиях)» и «Переходные процессы в линейных электрических цепях».

Различные величины в обобщённой цепи четырёхполюсника, подклю-ченного к источнику с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Z ₁ и нагружен-ного сопротивлением Z ₂, могут быть вычислены через А -параметры:

- входное напряжение U ₁ = Е (А ₁₁ Z ₂+ А ₁₂ ) / Н _A;

- входной ток I ₁ = Е (А ₂₁ Z ₂+ А ₂₂ ) / Н _A;

- выходное напряжение U ₂ = Е · А ₁₂/ Н _A;

- выходной ток I ₂ = - Е / Н _A.

Здесь Н _A = А ₁₁· Z ₂ + А ₂₂· Z ₁ + А ₁₂ + А ₂₁· Z ₁· Z ₂– вспомогательная частотная характеристика, выраженная через А -параметры четырёхполюсника. Отметим, что последовательно соединённые Е - Z ₁ могут быть заменены параллельно соединёнными J - Z ₁, то есть воздействие может быть как в виде напряжения Е, так и в виде тока J = Е / Z ₁. В этом случае приведенные формулы корректируются соответствующим образом.

ЗАДАЧА 5.42. Источник, представленный схемой замещения j(t)-r ₁, питает нагрузку r ₂ через Г -образный безындукционный фильтр низкой частоты, являющийся пассивным четырёхполюсником (рис. 5.36). Числовые значения:

r ₁ = 5000 Ом, r ₂ = 2000 Ом, r = 1000 Ом, С = 10 мкФ.

Вычислить: 1) коэффициенты формы А четырёхполюсника; 2) опреде-лить комплексное передаточное сопротивление канала связи; 3) построить АЧХ и ФЧХ; 4) нарисовать диаграмму Найквиста; 5) пользуясь комплексным передаточным сопротивлением, определить выходное напряжение u ₂ для следующих случаев –

j(t) = 0,05 А, j(t) = 0,05· sin( 100 t + 45° ) А,

j(t) = 0,05· sin( 1000 t – 100° ) А, j(t) = 0,05· sin( 10000 t + 100° ) А.