Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть событие может наступить лишь с появлением одного из несовместных событий , которые образуют полную группу событий.

Предположим, что известные вероятности этих событий и условные вероятности события А.

Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Вероятность события А, которое может наступить лишь с появлением одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

,

где – вероятность события А, вычисленная при условии, что событие уже произошло.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 1. Есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь из первого набора стандартная, равна 0,6, а из второго – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь, из наугад взятого набора, будет стандартная.

Решение. Пусть А – событие, вероятность которого надо найти, то есть вынутая наугад деталь стандартная. Такую деталь можно вынуть из первого набора (гипотеза ), или из второго набора (гипотеза ). Из за того, что эти гипотезы одинаково возможные, то . Условная вероятность того, что из первого набора будет взята стандартная деталь , а со второго – .

Искомая вероятность находится по формуле полной вероятности

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:

,

где вычисляется по i.

Пример 2. Пусть на условиях предыдущего примера вынута стандартная деталь. Найти вероятность того, что она вынута из первого набора.

Решение. По формуле Бейеса, подставляя значение соответствующих вероятностей (обозначение те же, что и в предыдущей задаче), получим

.