Головного елемента

Як уже відмічалося вище, метод Гаусса з послідовним вилученням невідомих можна застосовувати, якщо жодний із ведучих елементів не дорівнює нулю. Якщо ця умова не виконується, то застосовують одну з модифікацій методу Гаусса – метод Гаусса з вибором головного елемента.

Є три варіанти алгоритму Гаусса з вибором головного елемента: вибір головного (максимального за модулем) елемента по стовпцях, вибір головного елемента по рядках і вибір головного елемента матриці. Оскільки другий і третій варіанти зв’язані з перестановкою стовпців (що вимагає перенумерації змінних), то ми обмежимось розглядом тільки першого варіанту, де вимагається перестановка тільки рядків.

Формально метод Гаусса з вибором головного елемента по рядках можна реалізувати, використовуючи матриці перестановок, які визначаються таким чином.

Матрицею перестановок Р називається квадратна матриця, у якої у кожному рядку і кожному стовпці лише один відмінний від нуля і рівний одиниці елемент.

Елементарною матрицею перестановок називається матриця, отримана з одиничної матриці перестановкою k -го і i -го рядків.

Наприклад, елементарними матрицями перестановок третього порядку є матриці:

, , .

Відмітимо деякі властивості елементарних матриць перестановок, що випливають з їх визначення.

1⁰. Добуток двох (а отже, і будь-якої кількості) елементарних матриць перестановок є матриця перестановок (не обов’язково елементарних).

2⁰. Матрицю отримують з матриці перестановкою k -го і i -го рядків.

3⁰. Матрицю отримують з матриці перестановкою k -го і i -го стовпців.

Нижче наведені відповідні приклади, виконані за допомогою пакету Mathcad:

Приклад 1. Розв’яжемо за допомогою пакету Mathcad систему рівнянь , де

Розв’язання складається з наступних кроків.

1⁰. У першому стовпці матриці А найбільший за модулем елемент знаходиться у 3-му рядку. Тому виконаємо перестановку 1-го і 3-го рядків:

2⁰. Виключимо невідоме з 2-го і 3-го рівнянь:

3⁰. Найбільший за модулем елемент у другому стовпці знаходиться в 3-му рядку. Тому виконаємо перестановку 2-го і 3-го рядків:

4⁰. Виключимо невідоме із 3-го рівняння:

5⁰. Знайдемо матриці і :

6⁰. Знайдемо матрицю :

7⁰. Виконаємо перевірку умови , та правильність перестановки елементів стовпця вільних членів:

8⁰. Розв’яжемо задану систему рівнянь за допомогою одержаних матриць , і та перевіримо правильність одержаного розв’язку:

Нульова нев’язка підтверджує правильність одержаних результатів.

Зауважимо, що за допомогою пакету Mathcad обчислення можна автоматизувати частково або повністю.

Нижче наводимо деякі процедури, які дають можливість частково автоматизувати процес розв’язування системи рівнянь методом Гаусса з вибором головного елемента по стовпцях. Правильність роботи процедур перевіряється на розв’язанні попереднього прикладу. Розв’язання супроводжується необхідними коментарями. Для спрощення обчислень доцільно користуватись розширеною матрицею.

Міняємо 1-й і 3-й рядки

Утворюємо матрицю L і робимо нулі в 1-му стовпці

Міняємо 2-й і 3-й рядки

Утворюємо матрицю L і робимо нулі в 2-му стовпці

Розщеплюємо матрицю Ab на складові A і b; знаходимо розв’язок системи за допомогою оберненого ходу методу Гауса та перевіряємо його

При реалізації даного алгоритму ми використали деякі стандартні процедури пакету Mathcad:

– побудова одиничної матриці порядку ;

– обчислення числа рядків матриці А;

– утворення розширеної матриці;

– виділення під матриці А;

– виділення стовпця вільних членів .