![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основні поняття
Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді:
(1)
або
,
де – невідомі;
– дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи;
– вільні члени.
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь часто записують у матричній формі
(2)
,
,
,
де А – матриця коефіцієнтів системи, – вектор вільних членів і
– вектор невідомих. Матриця з вимірності
називається прямокутною. У випадку, якщо
, то матрицю називають квадратною матрицею порядку
.
Квадратна матриця вимірності
називається:
ð нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю: ;
ð верхньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю: ;
ð нижньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані вище головної діагоналі, дорівнюють нулю: ;
ð діагональною, якщо всі елементи, крім головної діагоналі, дорівнюють нулю: ;
ð одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші – нулю: .
Квадратна матриця називається неособливою, якщо її визначник (детермінант) відмінний від нуля. У протилежному випадку матриця називається особливою або виродженою.
Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система (2) має єдиний розв’язок. У лінійній алгебрі звичайно використовують спосіб розв’язання системи рівнянь (2), який базується на обчислені оберненої матриці . Дійсно, якщо помножити обидві частини рівняння (2) на
, розв’язок рівняння (2) отримаємо у вигляді
. (3)
Як відомо, елементи оберненої матриці можна обчислити за відомою формулою
, де
– алгебраїчні доповнення елемента
матриці А і
визначник цієї матриці. Тоді для знаходження всіх її елементів потрібно обчислити
визначників
-го порядку. Остання задача настільки трудомістка (вимагає велику кількість арифметичних операцій), що розв’язати її навіть при
дуже важко (це задача складності
).
Менш трудомістким є метод Крамера, згідно з яким значення невідомих знаходяться за допомогою формули
, (4)
де матриця формується з матриці
заміною її j -го стовпця на стовпець вільних членів. Але для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь з
невідомими у такий спосіб потрібно обчислити
визначник порядку
, що знову ж таки вимагає виконання арифметичних операцій порядку
. Уже при
, такий обсяг обчислень практично не доступний сучасним комп’ютерам. Тому далі ми будемо розглядати більш ефективні для обчислень методи.
У зв’язку з цим наведемо визначення деяких спеціальних матриць. Квадратна матриця називається:
ð симетричною, якщо ;
ð кососиметричною, якщо ;
ð ортогональною, якщо і
;
ð ідемпотентною, якщо ;
ð інволютивною, якщо , де Е – одинична матриця.
Методи чисельного розв’язання систем рівнянь (2) діляться на дві групи: прямі та ітераційні. До першої групи належать наведені вище методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В прямих або точних методах кількість арифметичних операцій, потрібних для отримання розв’язку системи (2) є скінченим числом, причому, якщо обчислення виконуються точно (без заокруглень), то розв’язок отримуємо точний. Прикладом прямого методу є також метод Гаусса та його модифікації. Ітераційні методи полягають в тому, що розв’язок
системи (2) знаходять як границю послідовних наближень
, коли
, де
– номер ітерації.
Чисельні методи розв’язання задач лінійних алгебри на сьогодні добре досліджені та описані в літературі. Крім того, є розроблено ряд математичних пакетів (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab), які дають можливість як досліджувати, так і розв’язувати задачі лінійної алгебри. Для ілюстрації обчислень і викладок ми вибрали пакет Mathcad з огляду на можливість виконувати за допомогою цього пакету арифметичні операції як в символьному, так і в числовому вигляді. А наявність нотації запису формул близької до звичайних математичних записів, на нашу думку, буде сприяти кращому розумінню та засвоєнню алгоритмів розв’язання задач лінійної алгебри. Цьому ж буде сприяти і наявність простих засобів програмування та можливостей графічного редактора даного пакету.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 282 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!