Решение задачи № 1

В этой задаче требуется найти производные функций, заданных явно.

В примере а) функция

Представляет собой сумму трех функций где и

По правилу дифференцирования суммы трех функций имеем

Найдём производную функции Для этого сначала воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций:

,

в результате получаем, что

Для вычисления производных, входящих в это выражение воспользуемся теоремой о дифференцировании сложной функции.

Теорема (цепное правило). Пусть функция имеет в точке производную , а функция имеет в точке производную

Тогда сложная функция имеет в точке производную

Функция называется внешней функцией, а –внутренней функцией. (Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.)

В обозначениях Лейбница эта теорема формулируется более изящно:

Применим цепное правило для вычисления производной функции Для этого положим и . Тогда Так как и , то, имеем

В обозначениях Лейбница те же вычисления принимают вид

Здесь при вычислении производной с функцией обращаемся как с единым символом.

Конечно, цепное правило можно применять повторно. Вычисляя производную функции , получаем

Подставляя вычисленные производные и в выражение имеем

Для завершения решения примера а) осталось вычислить производные функций и :

Окончательно получаем:

В примере б) функция представляет собой частное двух сложных функций. Применяя правило дифференцирования частного, получаем

С помощью цепного правила вычислим производные функций, входящие в правую часть выражения (4):

После подстановки этих производных в формулу (4), окончательно получаем