![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
[2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] № 1162, 1167, 1201, 1222, 1229.
Разберите решение задач 9, 10 данного пособия.
Задача 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:
Реализуем указанную схему
В точкех=1 функция терпит разрыв второго рода.
3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f (-х)= f (х) (тогдаf (х)— четная функция) или f (-х)= -f (х) (для нечетной функции) для любых х и — х из области определения функции:
f (-х)= , -f (х)=-
.
Следовательно, f (-х) f (х) и f (-х)
- f (х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
у'= =-
.
у'=0 при х=0 иу' — не существует при х=1. Тем самым имеем две критические точки: х =0, х
=1. Но точка х2 =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.
Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5):
(-оо; 0), (0; 1), (1; оо).
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале—положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: у =у(0)=-1. Значит (0;-1) – точка минимума.
На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производнойу', а стрелками — возрастание и убывание исследуемой функции.
у''=- =
.
у''=0 при х=- и у'' – не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); (-
; -
), (-
;1), (1;
).На первом интервале вторая производная у''отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах у">0, тем самымграфик является вогнутым. При переходе через точку х=-
у'' меняет свой знак, поэтому х=-
- абсцисса точки перегиба.
Следовательно, В — точка перегиба графика функции.
6. х=1 – точка разрыва функции, причем .
Поэтому прямаях=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=Rх+b воспользуемся формулами:
R= , b=
.
Тогда R= , b=
;
R=
,
b=
=
.
При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.
Значит прямаяу=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.
Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?
Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.
Обозначим через а — сторону основания, b
—высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равнаа2+4аb, а объемV=а2b2 = 108. Отсюда
b= и S= а2+4аb= а2+
.
Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:
S'=2a- /
Отсюда а = 6. S'(а)>0 при а>6, S' (а)<0 при а<6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а=6, то b= 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры бдм б дм
З дм.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?
2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?
3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.
4. Какие точки называются стационарными? критическими?
5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.
6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?
7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.
9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?
10. Назовите схему исследования функции и построения ее трафика.
11. В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!