Тема 6. Приложения производной

[2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] № 1162, 1167, 1201, 1222, 1229.

Разберите решение задач 9, 10 данного пособия.

Задача 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме:

1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функцию на непрерывность.
3. Установим, является ли данная функция четной, нечет­ной.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х= 1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. е. на интерва­лах (—оо; 1) и (1; оо).

В точкех=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f (-х)= f (х) (тогдаf (х)— четная функция) или f (-х)= -f (х) (для нечетной функции) для любых х и — х из области определения функции:

f (-х)= , -f (х)=- .

Следовательно, f (-х) f (х) и f (-х) - f (х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'= =- .

у'=0 при х=0 иу' — не существует при х=1. Тем самым имеем две критические точки: х =0, х =1. Но точка х₂ =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5):

(-оо; 0), (0; 1), (1; оо).

В первом и третьем интервалах первая производная отри­цательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале—положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: у =у(0)=-1. Значит (0;-1) – точка минимума.

На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производнойу', а стрелками — возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

1. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую про­изводную:

у''=- = .

у''=0 при х=- и у'' – не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); (- ; - ), (- ;1), (1; ).На первом интервале вторая производная у''отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на вто­ром и третьем интервалах у">0, тем самымграфик является вогнутым. При переходе через точку х=- у'' меняет свой знак, поэтому х=- - абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В — точка перегиба графика функции.

6. х=1 – точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямаях=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=Rх+b воспользуемся формулами:

R= , b= .

Тогда R= , b= ;

R= ,

b= = .

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямаяу=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры ре­зервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом бу­дут наименьшими, если при данной вместимости его поверх­ность будет минимальной.

Обозначим через а — сторону основания, b —высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равнаа²+4аb, а объемV=а²b² = 108. Отсюда

b= и S= а²+4аb= а²+ .

Полученное соотношение устанавливает зависимость меж­ду площадью поверхности резервуара S (функция) и сторо­ной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экст­ремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к ну­лю и решим полученное уравнение:

S'=2a- /

Отсюда а = 6. S'(а)>0 при а>6, S' (а)<0 при а<6. Следо­вательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а=6, то b= 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара ем­костью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры бдм б дм З дм.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убываю­щей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критически­ми?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кри­вой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти верти­кальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее трафика.

11. В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?