Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

гл XVIII; [3] № 372, 382, 397, 405, 418, 421;

[1] гл. XIX § 1-4; [3] № 452, 455, 457, 496.

Разберите решениезадачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек:

А (3; 0; —5), В(6, 2,1), С(12,-12,3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей че­рез точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки и , то вектор через орты , , выражается следую­щим образом: = = а . (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Подобным образом = (12-3) +(-12-0) +|(3+5) = 9 -12 +8 .

Модуль вектора вычисляется по формуле

. (2)

Подставляя в формулу (2) найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

, .

1. Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

cоs = . (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то * =3*9+2*(-12)+6*8=51. Применяя (3), имеем:

cоs = соs ( ^ )= ; 64 '.

1. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку М₀() перпендикулярно вектору , имеет вид

А (х-хо) +В (у-у₀) + С(г-z₀) =0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точ­ку С(12; —12; 3) перпендикулярно вектору {3; 2; 6}. Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х₀=12, у₀=—12, z₀ = 3, получим:

3(х-12) +2(у+12)+6(z-3)=0,

3х+2у+6z-30=0 — искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными? векторны­ми?
2. Какие векторы называются коллинеарными?
3. Какие два вектора называются равными?
4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?
5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?
6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, за­данных в координатной форме. Как умножить вектор на ска­ляр?
7. Дайте определение скалярного произведения двух век­торов. Перечислите основные свойства скалярного произве­дения.
8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?
9. Напишите формулу для определения угла между дву­мя векторами.
10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.
11. Напишите общее уравнение плоскости.
12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
13. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей че­рез три данные точки?
14. Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.