Примеры решения задач. Решение: 1. Расстояние d между точками м 1 (х1 ; у1 ) и М2 (х2 ; у2 )определяется по формуле

Линейная алгебра

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(—4; 8), В (5; —4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АСи их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение: 1. Расстояние d между точками М ₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂)определяется по формуле

d= (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ= .

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М ₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂) имеет вид:

(2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В:

, , ,

Зу—24 = —4х— 16, 4х+3у—8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента R_АВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда RАВ=- . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

, , ,

х+7у-52=0 (АС)

Отсюда RАС=- .

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны R₁ и R₂ определяется по формуле:

tgα= . (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее R₁₌ R_{АВ= - ,} R₂₌ R_АС= - .

tg А= ,

А=arctg 1=45 0,79 рад.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

R =- =- =

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ₁ (х₁; у₁) в заданном угловым коэффициентом к направле­нии, имеет вид:

у-у =R(х-х ). (4)

Подставив в (4) координаты точки С и R = , получим уравнение высоты СD:

у-6= (х-10), 4у-24=3х-30, 3х-4у-6=0 (СD). (5)

Для нахождения длины СD определим координаты точка D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

,

откуда х=2, у=0, то есть D (2; 0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, нахо­дим:

CD= .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е (a; b) имеет вид:

(х-a) +(у-b) =R . (6)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр E есть середина отрезка СD. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

х = , у =

Следовательно, Е ( 6; 3) и R= . Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности:

(х-6) +(у-3) =25.

6. Множество точек треугольника АBС есть пересечение трёх полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АB и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и со­держит точку А, а третья ограничена прямой АС я содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, под­ставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4*10+3*6-8=50>0

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х+3у-8

Для составления неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой ВС и. содержащую точку А, най­дем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) коорди­наты точек В и С:

, , ,

2х-у-14-0 (BC).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2*(-4)-8-14=-30<0. Искомое неравенство будет 2х—у—14≤0. Подобным образом составим неравенство, оп­ределяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и со­держащую точку В: 5+7*(—4)—52=-75<0. Третье искомое неравенство х+7у—52≤0. Итак, множество точек треуголь­ника АBС определяется системой неравенств

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АBС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

Рис.1

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой х=12 равно числу е = 0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Р е ш е н н е. Пусть М(х; у) —текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МB на.прямую х=12 (рис. 2). Тогда B( 12; у).

По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

МА = , МВ= .

Тогда

, ,

4х , 3х

.

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

где а=6, b=3 .

Определим фокусы эллипса F (-с;0) и F (с;0). Для эл­липса справедливо равенство b , откуда

и с=3.

То есть, F (-3;0) и F (3;0) - фокусы эллипса (точки F и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса = .

Задача 3. Составить уравнение линии для каждой точки которой ее расстояние до точки А(3; —4) равно расстоянию до прямой у= 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х;у) —текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В{х; 2). Так как МА=МВ, то

или

,

-12у-12=(х-3) ,

у+1=- .

Полученное уравнение определяет параболу с вершинойвточке 0 ' ( 3; —1). Для приведения уравненияпараболыкпростейшему (каноническому) виду положим х—3=Х'_, у+1= У'. Тогда в системе координат Х'О'У 'уравнениепара ­ болы принимает следующий вид: У=- Х') .

В системекоординат Х'О'У ' строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовойсистемыкоординат.
2. Напишите формулу для нахождения расстояниямеж ­ ду двумя точками.
3. Напишите формулы для определения координатточки, делящей данный отрезок в данном отношении.

1. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.
2. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффици­ентом; б) проходящей через данную точку в данном направ­лении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрез­ках».

6. Как найти координаты точки пересечения двух пря­мых?

7. Напишите формулу для определения угла между дву­мя прямыми.

1. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?
2. Сформулируйте определение окружности.
3. Напишите уравнение окружности с центром влюбойточке плоскости хОу; с центром в начале координат.
4. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.
5. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из­меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?
6. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.
7. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.
8. Напишите уравнения для нахождения асимптот гипер­болы.
9. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.