Без доказательства

Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Положим в критерий Коши . Тогда получаем: , т.е. .

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е. доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что , а для ряда выполняется критерий Коши, т.е. .

Примеры использования теоремы.

Пример 1. Ряд равномерно (и абсолютно) сходится на . Действительно, при выполнена оценка , а ряд сходится.

Пример 2. равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. для всех , а - сходится.