Доказательство. сходится Þ сходится

сходится Þ сходится . Но - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится Þ существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема. (1).

Примечание. Поскольку (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы , получим, что частичные суммы рядов равны соответственно , и . Эти величины имеют пределы , , . Теорема доказана.