![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
сходится Þ сходится
. Но
- это и есть исходный ряд.
. Ряд сходится Þ существует
. Но
частичная сумма
ряда
имеет вид
. Величина
не зависит от
. Кроме того,
при
. Поэтому существует
. Утверждение доказано.
Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.
Теорема. (1).
Примечание. Поскольку
(2), неравенство (1) можно заменить на неравенство
.
Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).
. Действительно, при
получаем неравенство
, выполняющееся
. Это значит, что
. Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд
расходится при
.
Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.
Пример. Гармонический ряд .
, т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что
.
В качестве выберем число
. Берем любое
и любое
. Пусть
. Тогда
.
Теорема. Пусть сходятся ряды ,
и
- постоянная величина. Тогда сходятся ряды
.
Доказательство. Обозначая частичные суммы ,
получим, что частичные суммы рядов
равны соответственно
,
и
. Эти величины имеют пределы
,
,
. Теорема доказана.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!