![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Лемма. Пусть . Тогда
сходится на множестве
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Так как , ряд
сходится. Так как
, можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.
Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия
сходится на
неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом
.
Пусть теперь , т.е.
. Выберем
так, чтобы
. Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на
абсолютно и равномерно. Поскольку все функции
- непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на
функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке
интервала
.
Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть ,
и в некоторой окрестности
. Тогда
.
Доказательство. При получаем:
. Поэтому
. При
. В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при
, откуда
и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке
).
Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.
Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму
, сходится (хотя бы неабсолютно) при
, то
(т.е. сумма ряда непрерывна слева).
Теорема. Для любого
.
Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам
. Тогда степенной ряд сходится равномерно на
и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того,
. Теорема доказана.
Теорема. Для любого
.
Доказательство. Выберем так, чтобы
. По определению
, ряд
сходится. Поэтому
(см. доказательство теоремы 1):
. Рассмотрим величину
. По признаку Даламбера, ряд
сходится, т.к.
. Значит, мы оценили члены ряда
при
членами сходящегося ряда
. Применяя теорему Вейерштрасса на
, получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке
, а значит, и в точке
. Ввиду произвольности точки
, теорема доказана.
Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем
(по доказанному).
Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.
Однако поведение в концевых точках может меняться. Например, ряд
сходится на
. При этом ряд
, получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на
, а прогрессия
, получающаяся при дифференцировании ряда
(сходящегося на
), сходится на
.
Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно,
. Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда.
, откуда
.
, откуда
.
,
и т.д.
.
Следовательно, при всех
. Таким образом,
. Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к
, представляет собой ряд Тейлора для своей суммы
.
Если имеет производные произвольного порядка в точке
, то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора:
.
Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция
имеет производные произвольного порядка в точке
и все они равны 0, т.е.
. Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с
.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции
, можно сформулировать так: остаток
должен стремиться к 0 при
.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!