Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Теорема (О ранге матрицы). Строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают. (Ранг матрицы - число линейно независимых строк (столбцов) матрицы )

Доказательство. Рассмотрим образ отображения . Образ состоит из всевозможных линейных комбинаций строк матрицы А, следовательно, размерность образа равна строчному рангу матрицы А.

Из представления , следует, что ядро имеет размерность равную (n – столбцовый ранг), значит, размерность образа равна n-(n-столбцовый ранг) = столбцовый ранг.

Таким образом строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают.

Что и требовалось доказать.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:

1) перестановку двух уравнений местами;

2) умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;

3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

4) отбрасывание нулевых уравнений.

Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.

Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, поэтому для сокращённой записи их обычно выполняют не с системой уравнений, а с её расширенной матрицей.

Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D с помощью элементарных преобразований сначала к ступенчатому виду (прямой ход), а затем по возможности – к диагональному виду (обратный ход). Возникающая в процессе преобразования система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения.

Между прямым и обратным ходом применяются два правила:

1) если в последней строке до черты есть ненулевые числа, то система совместна, если наоборот – несовместна.

2) если все ступеньки короткие, то система является определённой, если наоборот – неопределённой.

Если система оказалась совместной, переходим к обратному ходу: использование элементарных преобразований делает нули над началами ступенек, по возможности превращаем в +1. В результате возникает система, решаемая тривиальным способом.

Если система несовместна – решений нет.

Теорема 6 (Кронекера - Капелли). Если rangD > rangA, то система несовместна. Если же rangD = rangA, то система совместна.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.