Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. 1)найдем критические точки функции. ; .

Найденная критическая точка не принадлежит области.

2)Исследуем границу области. На участке AB: y= 1, . Функция имеет вид то есть ; при всех функция монотонно возрастает на этом участке, поэтому , .

На участке BC: , Функция имеет вид , то есть , при –критическая точка на участке BC. ; .

На участке AC: x+y= 1, или . Функция имеет вид , то есть ; ; при –критическая точка на участке AC. .

3)Выберем наибольшее и наименьшее из найденных значений: Получим где , .