Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Введем понятие δ-окрестности точки М ₀ (х₀, у₀) на плоскости О ху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М ₀ (х₀ , у₀, z₀). Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М ₀ множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию

где - координаты точки М ₀. Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f в точке М ₀, если такое, что | f(M) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М ₀.

Обозначения: .

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М ₀, условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М ₀. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

1. Покажем, что функция не имеет предела при М → О (0,0). Действительно, если в качестве линии, по которой точка М приближается к началу координат, выбрать прямую у = х, то на этой прямой . Если же траекторией движения считать прямую у = 2 х, то . Следовательно, предел в точке (0,0) не существует.

2. Найдем повторные пределы функции при х→0, у→0. , . Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим: Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке (0,0) предела в обычном смысле).

Замечание. Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f называется непрерывной в точке М ₀ , если (1.2)

Если ввести обозначения , то условие (1.2) можно переписать в форме (1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М₀ области определения функции z = f (M) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва.

Примеры.

1. Функция z = x ² + y ² непрерывна в любой точке плоскости О ху. Действительно, , поэтому .

2. Единственной точкой разрыва функции является точка (0,0).

3. Для функции линией разрыва является прямая х + у = 0.

Свойства пределов и непрерывных функций.

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций, доказанные в первой части курса, а именно:

1) Если существуют то существуют и (если ).

2) Если а и для любого i существуют пределы и существует , где М₀ , то существует и предел сложной функции при , где - координаты точки Р ₀.

3) Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке М ₀, то в этой точке непрерывны и функции f(M) + g(M), kf(M), f(M)•g(M), f(M)/g(M) (если g(M ₀) ≠ 0).

4) Если функции непрерывны в точке Р₀ , а функция непрерывна в точке М₀ , где , то сложная функция непрерывна в точке Р₀.

5) Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

6) Если функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения А и В, то она принимает в области D и любое промежуточное значение, лежащее между А и В.

7) Если функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения разных знаков, то найдется по крайней мере одна точка из области D, в которой f = 0.

Геометрическое изображение, то есть график функции двух переменных, - поверхность в пространстве (в прямоугольной декартовой системе координат ). Так, функция имеет графиком полусферу радиусом 1 (рис. 11.2).

Рис. 11.2

Рис. 11.3

При исследовании характера функции двух переменных удобно анализировать линии уровня с уравнением . К примеру, для линии уровня — семейство концентрических окружностей (рис. 11.3).

В случае функции трёх переменных область определения представляет собой множество точек в пространстве, в частности некоторое тело в пространстве, однако представить функцию трёх переменных графически уже не представляется возможным. Для исследования характера её изменения рассматриваются поверхности уровня с уравнениями .

Примеры:

1) : - шар радиусом 1 с центром в т. .

2) .

Изучать функции нескольких переменных удобно, путём рассмотрения функции двух переменных благодаря их геометрической наглядности. Полученные результаты можно обобщить на случай большего числа независимых переменных.

Введём топологию в . Определения иллюстрируются с помощью рис. 11.4.

Рис. 11.4

О: -окрестностью т. именуется совокупность всех точек , которые лежат внутри круга радиусом с центром в т. : . — проколотая окрестность т. .

О: Точка , когда .

О: Множество именуется областью, если:

1⁰. Любая т. есть его внутренняя точка (свойство открытости).

2⁰. Две точки множества можно объединить ломаной линией, которая состоит из точек множества (свойство связности).

О: Граничными точками области именуются такие точки, в окрестности которых содержатся как точки, которые ей принадлежат , так и точки, которые ей не принадлежат. Множество всех граничных точек представляет собой границу области именуется открытой областью.

О: Область именуется ограниченной, если для неё можно подобрать круг, который бы её полностью покрывал. Область именуется односвязной, когда для любого замкнутого контура, который находится в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит .

Область на рис. 11.1, а является односвязной, а область на рис. 11.1, б, не является односвязной.

Для пространства топология вводится аналогично. Дадим лишь определение -окрестности т. .

О: радиусом :