Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. Составить функцию Лагранжа
2. Решить систему

3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:

• Составить гессиан и определить его знак,
• С учетом уравнения связи вычислить знак .

Пример №1

Найти условный экстремум функции при условии .

Решение

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости для точек ее пересечения с цилиндром .

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив , составим функцию Лагранжа:

.

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

Если предположить , то первое уравнение станет таким: . Полученное противоречие говорит о том, что . При условии из первого и второго уравнений имеем: . Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

Итак, система имеет два решения: , , и , , . Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: и . Для этого вычислим гессиан в каждой из точек.

В точке получим:
, поэтому в точке функция имеет условный максимум, .

Аналогично, в точке найдем: . Так как , то в точке имеем условный минимум функции , .

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках и можно решить и без использования гессиана. Определим знак в каждой стационарной точке:

При , поэтому функция имеет в точке условный максимум. Аналогично, в точке получим условный минимум функции . Отметим, что для определения знака не пришлось учитывать связь между dx и dy, ибо знак очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака уже будет необходимо учесть связь между dх и dу.

Пример №2

Найти условный экстремум функции при условии .

Решение

Первый способ (метод Лагранжа)

.
Функция Лагранжа: .

Решив систему, получим: и . Имеем две стационарные точки: и . Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием гессиана.

В точке , поэтому есть точка условного минимума функции , . В точке , посему в данной точке функция имеет условный максимум, .

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке :

Из уравнения связи имеем: .

Так как , то является точкой условного минимума функции . Аналогично, , т.е. - точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи получим: . Подставив в функцию , имеем:

Таким образом, задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

Получили точки и . Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функции одной переменой. Исследуя знак в каждой стационарной точке или проверяя смену знака в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака .

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции , если переменные x и y положительны и удовлетворяют уравнению связи .

Решение

Составим функцию Лагранжа:

Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом . Из второго уравнения выразим и подставим найденное значение в первое уравнение: Подставляя в третье уравнение, получим: .

Так как , то . Характер экстремума в точке определим, исходя из знака .

Так как , то:

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки и параметра , получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя , получим:

.

Так как , то точка есть точкой условного максимума функции , причём .