Нелинейная зависимость (обобщение)

Предполагается, что связь между факторами (х ₁ ,...,х_р) и y выражается следующим образом:

y = b_о + b₁j₁(х ₁ ,..., х_р) + b₂j₂(х ₁ ,..., х_р) +... + b _k j _k (х ₁ ,..., х_р) + e

где j _j (), j = 1,..., k, - система некоторых функций. Имеется n наблюдений при различных значениях х º (х ₁ ,..., х_р): x ¹, x ²,..., xⁿ; имеем:

y_i = b _o + , i = 1,..., n,

или в матричной форме:

y = X b + e,

где Х - матрица n ´ (k + 1), в i -й строке которой (1, j₁ (x ⁱ), j₂ (xⁱ),..., j _k (x ⁱ));

y, b, e, как в (13). Получили задачу (13), и потому все формулы п.2 оказываются справедливыми.

Пример. Имеется 20 наблюдений по некоторому технологическому процессу химического производства; x, y - изменяемое содержание двух веществ, z - контролируемый параметр получаемого продукта. Полагая, что

z = P (x, y) + e,

где P (x, y) = b _о + b₁ x + b₂ y + b₃ x ² + b₄ xy + b₅ y ² - многочлен второй степени, e - случайная составляющая, М e = 0, D e = s², необходимо оценить функцию P (x, y) и найти точку ее минимума. Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4