Нелинейная зависимость

Связь между признаком x и y может быть нелинейной, например, в виде полинома:

y = P_k (x) + e, (28)

где P_k (x) = b _о + b₁ x +...+ b _k x^k, k - степень полинома, e - случайная составляющая,Мe = 0, D e = s² .

Для имеющихся данных (x_i,y_i), i = 1,..., n, можно записать

y_i = b_о + b₁ x_i + b₂ +...+ b _k + e_i, i = 1,..., n (29)

или, как и (12), в матричной форме:

Y = X b + e, (30)

где .

Имеем задачу (13), и потому все формулы п.2. оказываются справедливыми и в этом случае (28). Слово “линейный” в названии “линейный регрессионный анализ” означает линейность относительно параметров b _j, но не относительно факторов x_j. Широко используется, кроме полиномиальной, например, следующие модели:

1) логарифмическая; если зависимость y = a ₀ , то после логарифмирования получаем

ln y = ln a_o + a ₁ ln x = b _о + b₁ln x;

2) гиперболическая (при обратной зависимости, т.е. при увеличении х признак y уменьшается):

y = b _о + ;

3) тригонометрическая:

y = b _о + b₁sinw x + b₂cosw x и другие.

Пример. Имеются эмпирические данные о зависимости y - выработки на одного работника доменного производства от x - температуры дутья; данные приведены в табл. 3 в условных единицах.

Таблица 3

№	X	Y	№	X	Y
	1.01	8.8		5.80	11.8
	1.15	9.2		6.14	12.2
	1.91	8.7		6.64	13.1
	2.47	10.2		6.85	14.4
	2.66	9.3		8.11	17.5
	2.74	9.4		8.47	18.6
	2.93	10.7		9.09	18.6
	4.04	8.5		9.23	18.0
	4.50	8.9		9.59	23.8
	4.64	8.0		9.96	18.4