Работа № 1. Выборки и их представление

Работа № 1. Выборки и их представление

Основные понятия

Напомним, что такое выборка, вариационный ряд, эмпирическое распределение, группирование, гистограмма, выборочные характеристики и др.

Выборкой х₁,..., х_n объема n из совокупности, распределенной по F(х), называется n независимых наблюдений над случайной величиной x с функцией распределения F(x).

Вариационным рядом х₍₁₎£ х₍₂₎£... £ х_(n) называется выборка, записанная в порядке возрастания ее элементов.

Каждому наблюдению из выборки присвоим вероятность, равную 1/ n; получим распределение, которое называют эмпирическим; ему соответствует функция эмпирического распределения

º = ,

где m_n(х) - число членов выборки, меньших х. Значение этой функции для статистики определяется тем, что при n ® ¥

® F(x)

(теорема Гливенко).

Выборки больших объемов труднообозримы; разобьем диапазон значений выборки на равные интервалы и подсчитаем для каждого интервала частоту - количество наблюдений, попавших в него; частоты, отнесенные к общему числу наблюдений n, называют относительными частотами; графическое представление распределения частот по интервалам - гистограммой; накопленной частотой для данного интервала называют сумму частот данного интервала и всех тех, что левее его.

Числовые характеристики эмпирического распределения называются выборочными характеристиками: выборочные среднее ( математическое ожидание ), дисперсия:

= , s²=

выборочный момент порядка к:

m_k = ;

выборочные квантили z_p порядка р - корни уравнения

F(z_p)=p,

которыми являются члены вариационного ряда

z_(p)=x_{([np]+1 )},

где [nр] означает целую часть nр; частным случаем (p = 0.5) является выборочная медиана -центральныйчлен вариационного ряда. Значение выборочных характеристик состоит в том, что при n ® ¥ они стремятся к истинным значениям распределения F(х).

Приведем с помощью пакетов примеры. Исходные данные находятся в табл.1 (E(a) в таблице означает показательное (экспоненциальное) распределение с математическим ожиданием, равным a).

таблица1

¹	Закон	n	a	¹	Закон	n	a
	R [0, 2]		0.03		N (1,4)		0.01
	N (2, 0.25)		0.02		E (5)		0.03
	E (3)		0.01		R [0.3]		0.1
	R [1, 3]		0.02		N (1,4)		0.3
	N (1, 1)		0.01		E (1)		0.2
	E (2)		0.03		R [1,3]		0.03
	R [2, 3]		0.01		N (1,1)		0.02
	N (0, 4)		0.03		E (2)		0.01
	E (3)		0.02		R [2,3]		0.02
	R [0, 2]		0.03		N (2,1)		0.01
	N [2, 1]		0.02		E (3)		0.03
	E (4)		0.01		R [1,2]		0.01
	R [1, 2]		0.02