Логические высказывания, связки и операции

Высказывание – имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что оно либо истинно (True), либо ложно (False). Вместо слов True и False часто употребляются числа 1 и 0 соответственно.

Пример 4.1. Имеем два высказывания: «Дважды два четыре» и «3+5=9». Первое высказывание имеет истинное значение, а второе – ложное.

Если отвлечься от смысла высказывания, его можно обозначить буквой и рассматривать как переменную. Используя логические связки: «НЕ», «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ..., ТО...» и другие – можно из одних высказываний строить новые высказывания. Построение из заданных высказываний нового высказывания называется логической операцией.

Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д. В алгебре логики логические операции чаще всего описываются с помощью таблиц истинности. Для одноместной операции «не» («инверсия») таблица истинности выглядит так.

Таблица 4.1.

«А»	«не А»

«Не А» обозначается как А, или Ā, или ~А, или!A. В табл. 2.2 приведены основные двухместные логические операции.

Таблица 4.2

Обозначение логической операции	Другие обозначения логической операции	Набор истинностных значений	Название логической операции и связки	Как читается выражение
А B	А & B А B АB min (А, B)		Конъюнкция, логическое умножение, логическое «И»	А и B
А B	А+B max (А, B)		Дизъюнкция, логическое сложение, логическое «ИЛИ»	А или B
А B	А B А B		Импликация, логическое следование	Если А, то B; А имплицирует B; А влечет B
А B	А~ B А B А B		Эквиваленция, эквивалентность, равнозначность, тождественность	А тогда и только тогда, когда B; А эквивалентно B
А B	А+B А B		Сумма по модулю 2, разделительная дизъюнкция, разделительное «ИЛИ»	А плюс B; либо А, либо B
А | B	А B		Штрих Шеффера, антиконъюнкция	Неверно, что А и B; А штрих Шеффера B
А B	А B А B		Стрелка Пирса, антидизъюнкция, функция Вебба, ф-я Даггера	Ни А, ни B; А стрелка Пирса B

Набор истинностных значений 0001 в первой строке таблицы соответствует результатам операций:

0 0 = 0;

0 1 = 0;

1 0 = 0;

1 1 = 1.

Как известно, в арифметике вначале выполняются операции умножения или деления, а затем – сложения или вычитания. Логические связки также подчиняются подобному правилу. Приоритет применения связок возрастает в следующем порядке: , , , . Чтобы изменить этот порядок, то, как и в арифметике, необходимо использовать скобки.