Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть X – компактное пространство с метрикой d. Тогда множество называется r -плотным, если , где – шар радиуса r относительно метрики d с центром в точке x. Определим r -емкость пространства (X, d) как минимальное число элементов в его r -плотном множестве.
Пример 3.1. Например, если X – это отрезок [0, 1] с обычной метрикой, то значение приближенно равно 1/(2 r), потому что необходимо 1/(2 r) шаров (т.е. интервалов), чтобы покрыть единичный отрезок.
Пример 3.2. Возьмем единичный квадрат . Тогда значение имеет порядок , потому что требуется по крайней мере шаров радиуса r, чтобы покрыть единичный квадрат. Аналогично, для единичного куба значение имеет порядок .
Определение. Если X – вполне ограниченное метрическое пространство, тогда число называется энтропийной размерностью пространства X.
В англоязычной литературе для энтропийной размерности используют термин «box dimension».
Пример 3.3. Если , то .
Если , то .
Если , то
.
Пример 3.4. Найдем энтропийную размерность для менее тривиальных пространств.
1. Троичное канторово множество. Если С – троичное канторово множество, то (см. табл. 3.1) и
.
В табл. 3.1, приведены данные, помогающие понять логику вычисления размерности троичного канторова множества.
Таблица 3.1
i | r | ||
1/3 | |||
2. Ковер Серпинского. Для квадратного ковра Серпинского S и
.
Для треугольного ковра Серпинского подобным способом получаем, что его энтропийная размерность равна .
3. Снежинка Коха. Для снежинки Коха К мы имеем , так как ее можно покрыть шарами с центрами на ребрах i-го многоугольника. Таким образом, .
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 408 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!