Стохастические фракталы

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, поверхности скал, изрезанные береговые линии. В принципе, снежинка Коха очень похожа на природный объект (обычную снежинку), хотя это не стохастический фрактал.

В 1977 году в свет вышла книга американского математика Бенойта Мандельброта (1924-2010) «Фрактальная геометрия природы», в которой этот ученый привлек внимание широкой общественности к потрясающей красоте мира фракталов.

Графики случайных процессов, которые можно наблюдать на дисплеях приборов или на лентах самописцев, также является фракталами. Такие графики академик Яков Борисович Зельдович (1914-1987), полушутя, называл «толстой линией». В своей работе (Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика// Успехи физических наук, Том 146, вып. 3, июль 1985. – 493-574.) Зельдович привел пример модели такой линии

, (3.1)

где – последовательность независимых случайных чисел, равномерно распределенных между 0 и (случайный параметр). Ряд (3.1) сходится при . Однако обычной производной у функции в этом случае нет, поскольку соответствующий ряд расходится при . Таким образом, очевидно, что к функциям с не слишком быстро убывающим спектром идеи анализа применимы не в полной мере.

Рис. 3.5. Стохастический фрактал в различных масштабах

На рис. 3.5 показаны графики функции , построенные в MathCAD для различных интервалов изменения аргумента. При построении графиков использовался алгоритм

,

где – функция, генерирующая случайные числа, равномерно распределенные в диапазоне от 0 до 1. Как можно видеть, фрактальная кривая единообразно устроена в широком диапазоне масштабов.