Ковер Серпинского и снежинка Коха

Ковер Серпинского получается из единичного квадрата удалением средней части (1/3, 2/3)*(1/3, 2/3), затем удалением из каждого квадрата (i /3, i +1/3)*(j /3, j +1/3) среднего квадрата и т.д. (рис. 3.3). Можно также начать построение равностороннего треугольника с горизонтальным основанием и разделить его на четыре конгруэнтных (идентичных) равносторонних треугольника, центральный из которых имеет горизонтальную верхнюю сторону. Затем мы удаляем этот центральный треугольник и продолжаем построение, оставляя каждый раз по три треугольника.

Рис. 3.3. Квадратный и треугольный ковры Серпинского

Трехмерный вариант ковра Серпинского (губка Серпинского или кривая Менгера) получается из заполненного единичного куба, если вырезать в его центре полый куб со стороной 1/3, а затем двадцать шесть определенным образом расположенных полых кубов со стороной 1/9 и т.д.

Снежинка Коха получается из равностороннего треугольника, если поставить на каждую его сторону равносторонний треугольник, основание которого есть средняя треть стороны, а затем продолжать этот процесс итерационно со сторонами получающегося многоугольника (рис. 3.4). Эта конструкция была предложена Хельге фон Кохом (1904 г.).

Рис. 3.4. Снежинка Коха

С математической точки зрения снежинка Коха – это линия. Однако эта линия обладает необычными свойствами. Как бы мы ни увеличивали масштаб, на этой линии всегда будут неровности. Поэтому провести касательную к такой линии невозможно. Следовательно, функция, имеющая график в виде снежинки Коха, не имеет производных.

И троичное множество Кантора, и ковер Серпинского, и снежинка Коха образуются в результате бесконечного итерационного процесса. Далее в этой главе будет показано, что такие объекты имеют дробную размерность (в отличие от гладких линий, гладких поверхностей и т.п., которые имеют целочисленные размерности). Понятие дробной размерности впервые ввел известный немецкий математик Феликс Хаусдорф (1868-1942) в начале 20 века. Поэтому описанные в данном разделе объекты называют фракталами (от англ. fractal – дробная размерность).