Действительные, разные

Дано уравнение . Сделаем замену переменных

- переменные в собственном базисе.

неизвестная невырожденная матрица, преобразующая переменные из собственного базиса в базис исходных переменных.

Получаем систему с новой матрицей Самый простой вид В – диагональная. Это получается при условии, что столбцы матрицы Т собственные вектора матрицы А.

. В этом случае решение для запишется в виде , или в матричной форме

.

Для получения решения сделаем линейное преобразование

.

Пример. ; .

.

Найдём собственные вектора:

.

Тогда решение в собственном базисе будет:

.

Построим матрицу Т и запишем решение для исходных переменных: ;

.

Построим фазовые траектории в собственном базисе на плоскости и на плоскости .

Рис.13. Устойчивый узел в собственном базисе

Рис. 14. Устойчивый узел в базисе исходных переменных

Пусть собственные числа матрицы А действительные и кратные. Элементы матрицы А– константы.

.

Введём новую переменную , где S не вырожденная матрица. Запишем новую систему ДУ.

; .

Ясно, что В должна быть простой, но не чисто диагональной, т.к. решениями являются линейно зависимые функции и собственные вектора одинаковые.

Матрица В это действительная Жорданова форма матрицы А имеет квази диагональную форму и состоит из клеток Жордана. Правила построения такой матрицы следующие:

Тогда клетки Жордана для корней разной кратности будут:

Клетку Жордана можно представить в виде , где Е– единичная матрица.

Пусть К=2. Тогда СДУ в собственном базисе будет , а общее решение в собственном базисе запишется (при разложении матричной экспоненты в ряд) в следующем виде:

Общее решение в собственном базисе.

Для построения решения в базисе исходных переменных из матричного уравнения найдём элементы матрицы S. После умножения матриц приравняем (поэлементно) выражения слева и справа. Решив полученную СЛАУ, найдём матрицу S.

Пример.

Рис.15. Фазовый портрет в собственном базисе

Устойчивый вырожденный узел

;

Доопределим . Тогда

;

Общее решение исходного уравнения.

Построим фазовые траектории решений в базисе исходных переменных.Рис.16.

Рис.16. Фазовый портрет в базисе исходных переменных

Устойчивый вырожденный узел

Рассмотрим на примере СДУ построение общего решения для случая, когда кратные корни являются простыми делителями.

ПРИМЕР 1.

.

Характеристический полином и его корни будут:

Вычислим собственные вектора для найденных корней:

Это вырожденный случай. Хотя корни кратные, но при этом они образуют простые делители , а не .

Решение в этом случае ищется не в виде

,

а как для случая действительных разных корней.

Жорданова форма матрицы А будет чисто диагональной:

.

Тогда решение в исходном базисе запишется как:

.

Столбцы матрицы S из собственных векторов матрицы A.

.

Вронскиан функций образующих ФМР , т. е. функции эти линейно не зависимые.

Если имеем несколько кратных корней вида:

. .

.

Жорданова матрица станет квази диагональной, а на главной диагонали запишутся клетки Жордана размерностью К_i*К_i.