Решение линейных неоднородных уравнений порядка N

Прежде чем учиться решать уравнения с постоянными коэффициентами, познакомимся с некоторыми теоретическими проблемами для более общего случая, то есть для уравнений с переменными коэффициентами

(2.11)

где и – функции, непрерывные на ;

– дифференциальный оператор.

Пусть дана некоторая функция , являющаяся частным решением (2.11). Если - решение, то .

Возьмём функцию и выясним, при каких условиях может быть решением (2.11).

Подставим в это уравнение:

.

Так как , то последнее равенство выполняется при условии, что .

Это возможно, если - общее решение соответствующегооднородного уравнения, полученного из (2.11) заменой на нуль.

Тогда

где: – константы; – ФСР соответствующего однородного уравнения.

Отсюда

есть общее решение уравнения (2.11), состоящее из частного решения (2.11) и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть правая часть задана суперпозицией функций

Тогда, если и – частные решения и при этом

и ,

то

– частное решение исходного уравнения.

Теперь познакомимся с методами построения общего решения неоднородных уравнений.