Метод вариации произвольных постоянных(метод Лагранжа)

Будем считать, что для соответствующего однородного уравнения из (2.11) известна ФСР . Заметим, что для частного случая, когда – константы, её легко построить.

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения, но у нас будут не константы, а некоторые непрерывные и дифференцируемые функции , причём такие, что полученное решение удовлетворяет заданному неоднородному уравнению (2.11):

(2.12)

Для нахождения продифференцируем раз, причём подчиним дополнительным (произвольным) условиям. Вычисляя , ,…, от (2.12), сгруппируем члены содержащие и приравняем эти выражения к нулю:

(2.13)

Для производной в (2.13) не применяется дополнительное условие равенства нулю части выражения, содержащее .

Подставим , ,…, в уравнение (2.11). Для этого (2.13) умножим на , ,…, ,1 соответственно и сложим.

Тогда получим

Так как – ФСР, то и

(2.14)

Используя (n-1) произвольных условий из (2.13) и (2.14), запишем систему уравнений для нахождения :

(2.15)

Если в (2.15) представим как компоненты вектора , то определитель матрицы, составленный из и (n-1) их производных – вронскиан и не равен нулю. То есть (2.15) имеет единственное решение, которым (как известно из линейной алгебры) будет

,

где: – вронскиан; – алгебраическое дополнение n-ой строки и столбца; – правая часть (2.11).

Тогда

Подставим вычисленные в (2.12) и получим общее решение уравнения (2.11):

(2.16)

В (2.16) первое слагаемое – частное решение неоднородного уравнения, а второе – общее решение соответствующего однородного уравнения.

Для уравнения с постоянными коэффициентами ( – константы) легко найти, и используя полученные выражения (2.15) и (2.16), построить общее решение неоднородного уравнения.

Пример. Построим общее решение не однородного ДУ

.

Соответствующим однородным уравнением и его ФСР будут:

Запишем систему уравнений для нахождения по (2.15):

Тогда:

И общее решение будет

Для разных правых частей (разных ) будем получать разные частные решения неоднородного уравнения. При этом общее решение соответствующего однородного уравнения будет неизменным.