Метод неопределённых коэффициентов

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) является универсальным и позволяет найти частное решение для любых (правых частей неоднородных уравнений), но при этом приходится многократно выполнять процедуру интегрирования, которая далеко не всегда легко реализуема.

Рассматриваемый в этом разделе метод для некоторых видов правых частей неоднородных уравнений позволяет найти частное решение более простым способом. Пусть в уравнении

(2.17)

где

a - действительное число; ;

– константы.

Правая часть задана в виде полинома от (независимой переменной), умноженного на экспоненту. Возможен и частный случай a=0.

Идея этого метода проста: вид частного решения задаётся в той же форме, что и правая часть , но коэффициенты в решении неизвестны и подлежат определению. Отсюда и название метода.

Сначала рассмотрим случай, когда ( =1;…; ), т.е. ни один действительный корень характеристического уравнения не равен показателю экспоненты a в правой части.

Тогда частное решение можно записать в следующем виде:

(2.18)

где

– неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти.

Так как – решение неоднородного уравнения, то оно обращает его в тождество:

(2.19)

Вычислив и подставив в левую часть производных, сократим обе части уравнения на . У нас слева и справа останутся полиномы, коэффициенты одного из них известны, а у другого после приведения подобных получим их как функции от .

Для выполнения равенства (2.19) необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа были равны. По этому условию и записывается система уравнений для неизвестных коэффициентов.

Пример. Построим общее решение методом неопределённых коэффициентов для дифференциального уравнения

, , .

Имеем

Тогда

есть общее решение соответствующего однородного уравнения (l_i¹a).

Запишем частное решение в том же виде, что и правая часть:

Подставим функции , , в исходное уравнение:

Приведём подобные и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Тогда =1, =0, =0 и – частное решение неоднородного уравнения:

– общее решение заданного неоднородного уравнения.

Рассмотрим построение частного решения, когда корней l равно a (показателю экспоненты в правой части). Общая методика нахождения при этом остаётся неизменной, но решение записывается в несколько ином виде:

(2.20)

Пример. Построим общее решение методом неопределённых коэффициентов для дифференциального уравнения

.

Для данного уравнения получим:

Пусть правая часть задана в виде:

где:

При этом комплексное число не является корнем характеристического полинома, т.е. ни один комплексный корень не равен . Здесь и - параметры функций правой части уравнения. Тогда, используя вышеизложенную методику, найдём неизвестные коэффициенты в частном решении , записанном в том же виде, что и правая часть:

(2.21)

где и - полиномы степени .

Заметим, что решение записывается в виде (2.21), даже если один из полиномов или равен нулю. Если полиномы и разного порядка, то в (2.21) равно из и .

Пример. Найдем общее решение уравнения

, ,

методом неопределённых коэффициентов. Для этого уравнения будем иметь:

В нашем случае =0 и =0.

Подставим найденную производную и функцию в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях:

Тогда частное решение и общее решение запишутся в следующем виде:

В случае если комплексных корней , частное решение запишется в виде

(2.22)

а общая методика определения коэффициентов в и останется неизменной.

Пример. Построим общее решение уравнения

.

Для данного уравнения найдем:

Подставим и в исходное уравнение, и после приведения подобных составляющих получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях:

.

Тогда:

Теперь запишем общее решение неоднородного уравнения: