Гипербола. Гиперболойназывается геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметр а называют действительной полуосью, параметр b – мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает ось Ох в двух точках. Эти точки называются вершинами гиперболы.

Фокусы F ₁ и F ₂ находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F ₁(– c; 0) и F ₂ (c; 0).

Отношение = e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называют основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями: .

Расстояния произвольной точки М (x; y) гиперболы от его фокусов F ₁ М и F ₂ М (фокальные радиус-векторы r ₁ и r ₂) определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы

r ₁ = e х + а, r ₂ = e х – а;

для точек левой ветви гиперболы

r ₁ = – (e х + а); r ₂ = – (e х – а).

Прямые х = – и х = называются директрисами гиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы e.

Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусами F ₁ и F ₂ на оси Оу. Фокусы находятся на расстоянии от центра и имеют координаты F ₁(0; – с) и F ₂(0; с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением e = ; директрисы имеют уравнения у = – и у = .

Гиперболы и называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней.

Рис. 10