Метод Крамера. Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений

Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений.

Теорема Крамера. Пусть D – определитель матрицы системы А; D _j – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j - го столбца столбцом свободных членов. Тогда, еслиD ¹ 0, то система имеет единственноерешение, определяемое по формулам:

, j = 1, 2, …, n

Эти формулы называются формулами Крамера.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение.

Найдем общий определитель системы:

∆ = = 3∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙2 + 1∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙2 –

– 2∙(–3) ∙3 – 1∙1∙(–5) = 30 – 4 – 6 – 8 + 18 + 5 = 35.

Вычислим определители переменных ∆₁, ∆₂, ∆₃, которые получаются из общего определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов (правых частей каждого уравнения):

∆₁ = = 5∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙(–3) + 4∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙(–3) –

– 2∙(–3) ∙5 – 1∙4∙(–5) = 50 + 9 – 16 + 12 + 30 + 20 = 105.

∆₂ = = 3∙4∙(–5) + 1∙(–3)∙(–2) + 5∙(–3)∙2 – (–2)∙4∙2 – (–3)∙(–3)∙3 –

– 1∙5∙(–5) = – 60 + 6 – 30 + 16 – 27 + 25 = – 70.

∆₃ = = 3∙(–2) ∙(–3) + 1∙2∙5 + 1∙4∙2– 5∙(–2)∙2 – 2∙4∙3 – 1∙1∙(–3) =
= 18 + 10 + 8 + 20 – 24 + 3 = 35.

Решение системы линейных уравнений найдем по формулам Крамера:

x ₁ = ; x ₂ = ; x ₃ = .