Линии второго порядка

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С (а; b)радиуса R имеет вид (рис. 8):

(х – a)² + (у – b)² = R ².

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. а = 0; b = 0, то уравнение окружности имеет вид: x ² + у ² = R ².

Рис. 8

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2 а.

Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F ₁ и F ₂.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

.

Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр а называют большой полуосью, параметр b – малой полуосью эллипса.

Пусть а > b, тогда фокусы F ₁ и F ₂ находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F ₁(– c; 0) и F ₂ (c; 0).

Отношение = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния произвольной точки М (x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

r ₁ = a + e x; r ₂ = a – e x.

Прямые и называются директрисами эллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса e.

Рис. 9

Если b > а, то фокусы находятся на оси Оy в точках F ₁(0; – c) и F ₂ (0; c); расстояния от начала координат до фокусов ; эксцентриситет e = ; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями: r ₁ = b + e y, r ₂ = b – e y; уравнения директрис у = – и у = .