Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет следующим условиям:

1) вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

2) вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах:

, где α – угол между векторами и ;

3) векторы , , образуют правую тройку.

Рис. 17

Три произвольных некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 18), и левую, если по часовой стрелке.

Рис. 18

Если система координатных осей правая и векторы и заданы своими координатами, , , то векторное произведение определяется по формуле:

.

Площадь параллелограмма S, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения × и определяется по формуле:

S = | |.

Площадь треугольника S _D, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма:

S _Δ = S = | |.