Выборки элементов с повторениями

В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как

Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится следующим образом:

Пример 9. Сколько "слов" можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА?

Решение. Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы новых "слов", но буква "М" употребляется в "слове" 2 раза, "А" - 3 раза, "Т" - 2 раза, оставшиеся три буквы - по разу. Следовательно, искомое число будет в раз меньше, чем , и равно

Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 10. В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному?

Решение. Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями. Тогда каждой покупке будет соответствовать упорядоченный набор из 8 единиц и 4 (= 5 - 1) разделительных нулей, а общее число покупок будет соответствовать числу перестановок этих нулей и единиц . Таким образом,