Иррациональные уравнения. Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду:

;

Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:

;

В) учитывая, что , получаем уравнение

f(x) = g(x);

Г) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x² - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x² = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

Виды неравенств

Пример: Решить неравенство

Решение.

Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.

Сначала решим систему неравенств

Первая система равносильна неравенству х > 1.

Теперь, решаем систему неравенств:

Вторая система равносильна неравенству x < -1.

Ответ: x >1 и x < -1.

Пример: Решить неравенство (1)..

Решение. Вычтем из обеих частей неравенства функцию получим неравенство 3х > 9.

Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1) (2).

M = (- ; 8) (8; + )- ОДЗ неравенства (1).

B = (3; + ) - это решение неравенства (2).

Найдем множество решений неравенства (1)

A = B M =((- ; 8) (8; + ) (3; + ) = (3; 8) (8; + ),

Ответ: x (3; 8) (8; + ).