Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
Пример. В рассмотренной выше матрице все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы равен двум. Это обозначается: .
Две матрицы и называются эквивалентными (пишут: ), если их ранги равны: .
Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы:
1) перестановка строк матрицы;
2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;
4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы.
,.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений
Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную матрицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.
~ ~
~.
Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 344 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!