Ранг матрицы, система линейных уравнений. Теорема кронекера-капелли и следсвие

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.

Пример. В рассмотренной выше матрице все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы равен двум. Это обозначается: .

Две матрицы и называются эквивалентными (пишут: ), если их ранги равны: .

Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы:

1) перестановка строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;

4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы.

,.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~.

Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.