Приложение 3. Тесты для стандартных методов Маткад по определению собственных чисел трехдиагональной теплицевой матрицы и почти треугольной матрицы Хессенберга специального вида

· Вычисление собственных чисел матрицы стандартным методом Mathcad: -вектор собственных чисел,

· Вычисление собственных чисел матрицы вектора с помощью строгой формулы (13) из раздела 1.12 (при k=0): , где - значение на главной диагонали матрицы, - значение на соседней нижней диагонали, - значение на соседней верхней диагонали. , - размер матрицы.

1. Ошибок нет при вычислении стандартным методом Mathcad собственных чисел 3-х диагональной теплицевой симметричной матрицы, у которой значение на главной диагонали , на двух соседних побочных диагоналях . Размер матрицы . Число обусловленности матрицы . Модуль разности векторов собственных чисел

2. Ошибки при вычислении собственных чисел 3-х диагональной несимметричной теплицевой матрицы. с значением на главной диагонали и на соседних стандартным методом Маткад. Размер матрицы , число обусловленности матрицы . Модуль разности векторов собственных чисел

3. Почти треугольная матрица Хессенберга. Ошибки (проявления неустойчивости) стандартного метода Маткад. - вектор решения проблемы собственных чисел с помощью Маткад , - вектор собственных чисел по строгой формуле (33) из раздела 1.12 при :

,

4. Матрица Хессенберга небольшого размера n=10. Решения совпадают с хорошей точностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 320c.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2002. –320 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 632 с.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы–М.: Наука, 1989. – 432 с.

5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: «Высшая школа», 2002. – 840 с.

6. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994. – 124 p. – http://www. Netlib.org/templates/ Templates.html.

7. Saad Y.Iterative Methods for Spars Linear Systems. –SIAM, 2003. – 439 p.

8. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 448 с.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.

10. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.

11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1971. – 512 с.

12. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. – М: Радио и связь, 1998. – 160 с.

13. Samokhin A. Volume Integral Equation Method in Problems of Mathematical Physics//COE Lecture Note V.16: Kyushu Universit, 2009.

14. Куликов С.П. Метод оптимальной простой итерации и численное решение интегрального уравнения электромагнитного рассеяния // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2009. – T.14, №10. – с.6–13.

15. Куликов С.П. Итерационный метод с комплексным набором чебышевских параметров для численного решения интегрального уравнения электромагнитного рассеяния //Электромагнитные волны и электронные системы.–2010.–T.15, №6.–с.4–13.

16.Куликов С.П., Самохин А.Б. Численное решение интегрального уравнения электромагнитного рассеяния: от 1D скалярного до 3D векторного случая// Электромагнитные волны и электронные системы. – 2010. – T.15, №10. – с.32–48.

17.Kulikov S.P. Optimum spectral parameter and convergency for stationary iterative methods in the case of three-diagonal SLAE. // Selçuk Journal of Applied Mathematics, S.U. Research Center of Applied Mathematics. – 2003. Vol. 4, No. 2. – pp. 89-102.

18.Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –464 с.

19.Воеводин В. В.Вычислительные основы линейной алгебры: Учеб. пособие для вузов — М.: Наука, 1977.

Содержание

Предисловие. 3

Введение. 3

В.1. ПРОСТРАНСТВА.. 4

1. Линейное, векторное пространство. 4

2. Конечномерное векторное пространство. 4

3. Метрическое пространство. 5

3.1. Оператор в метрическом пространстве. 6

4. Евклидово пространство. 6

5. Унитарное пространство. 7

6. Матрицы и операторы в евклидовом (унитарном) векторном пространстве. 7

Матричные операции. Треугольная матрица. Матрица перестановок. Вырожденная и обратная матрицы. Положительно определенная матрица. Сопряженность. Транспонирование. Сопряженная матрица. Самосопряженная (эрмитовая) матрица. Нормальная матрица. Подобная матрица. Матрица простой структуры. 7

7. Нормированное векторное пространство. 16

7.1. Различные векторные нормы.. 17

8. Нормированное матричное пространство. 17

8.1. Подчиненная норма матрицы.. 19

9. Банахово пространство. 22

10. Гильбертово пространство. 23

В.2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ).25

1. Прямые методы решения СЛАУ.. 28

1.1 Метод Крамера. 28

1.2 Метод Гаусса (Метод исключений) 29

1.2.1 Вычислительная схема метода Гаусса. 30

1.2.2 Обратная матрица и определитель. 33

1.3 Метод прогонки. 34

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ И ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.. 35

1. Стационарные итерационные методы решения СЛАУ 37

1.1 Явный метод простой итерации. 37

1.2 Условие выхода из процесса стационарной простой итерации по заданной точности. 40

1.3 Скорость сходимости итерационного процесса. 41

1.4 Метод оптимальной простой итерации (МОПИ). 41

1.5 Оптимальный параметр сходимости МОПИ для некоторых практически важных случаев области расположения спектра. 44

1.6 Явный метод простой итерации Якоби и неявный метод Зейделя 48

1.7 Алгоритмы и подпрограммы явных и неявных методов простой итерации 51

1.8 Метод релаксации. Оптимальный параметр для блочно - трехдиагональных матриц. 54

1.9 Примеры применения модифицированных методов с ОП для явных и неявных методов простой итерации. 59

1.10 Теорема Самарского. 63

Упражнения. 68

1.11 Оптимальный параметр сходимости метода релаксации на примере решения СЛАУ с трехдиагональной несимметричной теплицевой матрицей 70

1.12 Строгая теория стационарных итерационных методов на примере решения СЛАУ с трехдиагональной теплицевой матрицей. 78

1.12.1 Метод оптимальной простой итерации (оптимальный метод Ричардсона). 78

1.12.2 Оптимальные модифицированные методы Якоби и Гаусса-Зейделя (релаксации). 84

2.Нестационарные методы решения СЛАУ. 95

2.1. Явный нестационарный метод простой итерации........... 95

Теорема о точном решении. 95

Упражнения. 100

2.2 Ортогональные многочлены. 101

2.2.1................. Ортогонализация линейно-независимых элементов

Гильбертова пространства. 101

2.2.2. Многочлены Лежандра. 102

2.2.3. Многочлены Чебышева 1 рода. 103

2.2.4. Определение многочлена Чебышева через рекуррентное соотношение. 104

2.2.5.Формульные определения многочлена Чебышева 1 рода. 105

2.2.6. Корни и экстремумы многочлена Чебышева. 107

2.2.7.Многочлены Чебышева на произвольном отрезке. 110

2.2.8. Теорема Чебышева. 111

2.2.9. Многочлены Чебышева 2 рода. 116

2.2.10. Определение многочлена Чебышева 2-го рода через рекуррентное соотношение. 117

2.2.11. Формульные определения многочлена Чебышева 2 рода. 118

2.2.12.Корни и экстремумы многочлена Чебышева 2 рода. 118

2.3. Явный нестационарный итерационный метод с

чебышевским набором параметров. 119

2.3.1. Матрица СЛАУ с вещественным спектром на одном отрезке 119

2.3.2. Матрица СЛАУ с вещественным спектром на нескольких отрезках. 123

2.3.3. Неэрмитовая матрица СЛАУ. Спектр матрицы – один или несколько комплексных отрезков. Метод с комплексным набором чебышевских параметров. 124

2.3.4. Приложение теории МКЧП к численному решению больших комплексных неэрмитовых СЛАУ в задачах электромагнитного рассеяния 132

2.4. Итерационные нестационарные методы вариационного

типа. 137

2.4.1.Минимизация функционала ошибки. Отношение Рэлея. 137

2.4.2.Метод минимальных невязок (ММН). 138

2.4.3.Метод скорейшего спуска (МСС). 141

2.4.4.Двухшаговые ДММН и ДМСС. 143

2.4.5. Двухшаговый метод сопряженных градиентов (МСГ) для

самосопряженной и положительно определенной

матрицы. 146

3.ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ. 148

3.1. Строгие соотношения между элементами матрицы и её спектром. 148

3.2. Метод вращений численного решения полной проблемы собственных значений. 150

3.3. Степенной метод численного решения частичной проблемы собственных значений. 151

Приложения. 154

Приложение 1. 154

Численное решение краевой задачи для уравнения Пуассона с использованием оптимального метода релаксации и других итерационных методов.

Приложение 2. 157

Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ и проверка.

условий ее устойчивости.

Приложение 3. 159

Тесты для стандартных методов Маткад по определению собственных чисел трехдиагональной теплицевой матрицы и почти треугольной матрицы Хессенберга специального вида.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 161

Сергей Павлович Куликов

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Редактор А.Б. Самохин

Учебное пособие написано в авторской редакции

Подписано в печать 00.00.2011. Формат 60´84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,00.Усл. кр.-отт. 00,00. Уч.-изд. л. 0,00.

Тираж 100 экз. С 00.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Московский государственный институт радиотехники,

электроники и автоматики (технический университет)»

117454, Москва, просп. Вернадского, 78