Приложение 1. Численное решение краевой задачи для уравнения Пуассона с использованием оптимального метода релаксации и других итерационных методов

Проиллюстрируем возможности оптимального метода релаксации на примере численного решения двумерной краевой задачи для эллиптического уравнения Пуассона с граничными условиями в прямоугольнике :

, , ,

Используем для аппроксимации второй производной конечные разности второго порядка точности [2]. Вводя сетку , , , получаем

,

или, введя обозначение , получаем пятиточечную разностную схему для внутренних узлов прямоугольника

(1)

Данная неявная схема охватывает все внутренние точки области , их количество n=(M-1)(N-1)- это число уравнений (неизвестных) в СЛАУ, построенной на основе (1)

Пусть для простоты для всех , т.е. для всех внутренних точек, а граничные условия таковы: внизу , слева и справа , и только наверху задана отличная от нуля функция . Зададим , X=Y=1. Тогда M=5, N=5, а число внутренних точек и уравнений . Матрица СЛАУ для данной задачи задается по приведенному на языке пакета Mathcad алгоритму.

Здесь , - это индексы матрицы A, они связаны с другими, ранее введенными индексами для узлов сетки. Сеточная функция , , выражается через найденный в результате решения СЛАУ вектор решения , следующим образом: .

Рис. 24. Блочно-трехдиагональная симметричная отрицательно определенная матрица краевой задачи для уравнения Пуассона

Блочно-трехдиагональная матрица A имеет строение, представленное на рис. 24. Матрица –A симметрична и отрицательно определена. Поэтому для решения СЛАУ с ее участием применим оптимальный метод релаксации с ОП (см. раздел 1.7).

Вектор правой части СЛАУ задается в виде:

где - число, определяющее в векторе решения начало последнего слоя внутренних узлов по оси , на которых учитывается заданное граничное условие. Заданная функция из уравнения, в данной задаче являющаяся константой, , находится в правой части СЛАУ в виде слагаемого .

Рис.25. Численное решение краевой задачи в прямоугольнике для уравнения Пуассона

На рис. 25 показано распределение функции решения аналогичной краевой задачи в двумерной области при порядке СЛАУ . Решение получено оптимальным методом релаксации при оптимальном параметре за итерацию с относительной точностью решения в . Оптимальный параметр найден с помощью формулы (34) из раздела 1.8, а максимальное по модулю собственное число матрицы Якоби определено степенным методом (раздел 3.3). Обычный метод Зейделя сходится здесь лишь за итераций и сопоставим по времени решения с прямым методом. Спектр матрицы в методе Ричардсона в данной задаче очень близко подходит к точке , поэтому оптимальный метод Ричардсона показывает здесь ещё большее число требуемых итераций . Интересно, что нестационарный метод минимальных невязок, сходится в данной задаче еще хуже, за итераций. В то же время метод сопряженных градиентов показывает не худший, чем метод релаксации результат: . Учитывая его однотактовость, несмотря на двухшаговость, МСГ следует признать самым предпочтительным совместно с методом релаксации для решения задач с данным классом матриц.

Отметим, что матрица задачи при неизменном и заданном постоянна и не зависит от краевых условий и источников , которые входят в правую часть СЛАУ. Кроме того, он

одинакова для уравнений Лапласа и Пуассона. Соответственно задачи для этих эллиптических уравнений с различными краевыми условиями и источниками могут решаться с тем же самым оптимальным параметром, найденным один раз для данной сетки.