Полная и частичная проблема собственных значений

3.1. Строгие соотношения между элементами матрицы и её спектром

Решение полной проблемы собственных значений и собственных векторов для матрицы сводится к уравнению

или (1)

Если это уравнение имеет нетривиальное решение , то - собственный вектор матрицы , - отвечающее этому собственному вектору собственное значение матрицы .

Для того, чтобы однородное уравнение (1) имело нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица , где - единичная матрица, была вырождена, т.е.

(2)

Уравнение (2) называется характеристическим или вековым уравнением. В терминах элементов матрицы оно приводит к раскрытию следующего определителя

(3)

и в результате к поиску корней многочлена -й степени относительно переменной с коэффициентами . Согласно основной теоремы алгебры, этот многочлен в комплексной плоскости имеет ровно корней с учетом их кратности. Обозначим эти корни как . Полная проблема собственных значений сводится к их поиску.

Исследуя определитель (2), (3) и его разложение, можно сделать определенные выводы о двух старших коэффициентах и свободном члене в многочлене (3)

(4)

Здесь - след (сумма диагональных элементов) матрицы . Таким образом,

(5)

Приведенный многочлен разложим на множители , содержащие его корни

(6)

Сравнивая (5) и (6), имеем с одной стороны обобщенную теорему Виетта для приведенного многочлена (здесь - коэффициенты приведенного многочлена)

,

а с другой соотношения между элементами матрицы и её собственными числами

(7)

Таким образом, доказана следующая

Лемма.

След произвольной матрицы есть сумма её собственных чисел, а детерминант матрицы равен произведению её собственных чисел.